.
Теоретическая механика Определение реакций опор Расчет гибких нитей Пример расчета провода линии электропередачи Расчет деревянной П - образной опоры Расчет одностоечной опоры на прочность и устойчивость

Теоретическая механика

Кручение.

Напряжения и деформации при кручении

Иметь представление о напряжении и деформациях при кручении, о моменте сопротивления при кручении.

Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.

Напряжения при кручении

Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол s. продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации.

Рис.

Рис.

При выводе формулы используем закон Гука при сдвиге и гипотезу плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений.

При кручении возникает напряженное состояние, называемое чистый сдвиг (рис. 27.16).

При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникает касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1г).

Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига.

Закон Гука при сдвиге τ = Gγ,

G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм2; γ — угол сдвига, рад.

Напряжение в любой точке поперечного сечения

Рис.

Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2).

dQ = τdA,

где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка.

В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары.

 Элементарный момент силы dQ относительно центра круга

dm = pdQ,

где р — расстояние от точки до центра круга.

Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов:

.

После преобразования получим формулу для определения напряжений в точке поперечного сечения:

, где .

При ρ = 0 τк = 0; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения. Полученный интеграл Jp называется полярным моментом инерции сечения. Jр является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.

Анализ полученной формулы для Jр показывает, что слои, расположенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.

Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3)

Мк — крутящий момент в сечении;

ρВ — расстояние от точки В до центра;

τВ — напряжение в точке В;

 — максимальное напряжение.

Рис.

Максимальные напряжения при кручении

Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности.

Определим максимальное напряжение, учитывая, что , где d — диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывается по формуле.

.

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем

.

Обычно Jp / ρmax обозначают Wp и называют моментом сопротивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения

.

Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу

.

Для круглого сечения ; .

Для кольцевого сечения , где .

Условие прочности при кручении

Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности

,

где [тк] — допускаемое напряжение кручения.

Виды расчетов на прочность

Существует два вида расчета на прочность

1.  Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:

.

Откуда

.

2. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности

.

3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)

.

Расчет на жесткость

При расчете на жесткость определяется деформация и сравнивается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

При кручении деформация оценивается углом закручивания:

.

Здесь φ - угол закручивания; γ – угол сдвига; l - длина бруса; R - радиус; R=d/2. Откуда

.

Закон Гука имеет вид τk = Gγ.

Подставим выражение для γ, получим

; используем ,

Рис.

откуда

.

Произведение GJP называют жесткостью сечения.

Модуль упругости можно определить как G  0,4Е. Для стали G = 0,8·105 МПа.

Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на :дин метр длины бруса (вала) φо .

Условие жесткости при кручении можно записать в виде

,

где φо — относительный угол закручивания, ;

[φо] ≈ 1град/м = 0,02 рад/м - допускаемый относительный гол закручивания.

Примеры решения задач

Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала - сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивали; [φо] = 0,02 рад/м; модуль упругости при сдвиге G= 0,8 • 105 МПа.

Решение

1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении:

.

Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:

; ; .

Из условия прочности определяем момент сопротивления вага при кручении

.

Значения подставляем в ньютонах и мм.

.

Определяем диаметр вала:

; ; .

Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.

Условие жесткости при кручении:

.

Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:

; ; .

Определяем диаметр вала:

; ;

3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.

Полученное значение следует округлить, используя ряд предпочтительных чисел. Практически округляем полученное значение гак, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение dвала = 75 ММ.

Для определения диаметра вала желательно пользоваться стандартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.


Контрольные вопросы и задания

1. Как называется напряженное состояние, возникающее при вручении круглого бруса (вала)?

2. Напишите закон Гука при сдвиге.

3. Чему равен модуль упругости материала при кручении для пали? В каких единицах он измеряется?

4. Какая связь между углом сдвига и углом закручивания?

5. Как распределяется касательное напряжение при кручении? Чему равно напряжение в центре круглого поперечного сечения?

6. Напишите формулу для расчета напряжения в любой точке поперечного сечения.

7. Что такое полярный момент инерции? Какой физический смысл имеет эта величина? В каких единицах измеряется?

Напишите формулу для расчета полярного момента инерции для круга.

8. Напишите формулу для расчета напряжения на поверхности вала при кручении. Как изменится напряжение, если диаметр вала увеличится в два раза?

9. Почему для деталей, работающих на кручение, выбирают круглое поперечное сечение?

10. В чем заключается расчет на прочность?

11. В чем заключается расчет на жесткость?

12. По величине допускаемых крутящих моментов сравнить несущую способность двух валов из одинакового материала, имеющих примерно одинаковую площадь поперечных сечений с = 0,55 (рис. 27.5). Сравнение провести по формуле [Мк] = [τк]Wp.

Рис.


Теоретическая механика примеры выполнения заданий