.
Теоретическая механика Определение реакций опор Расчет гибких нитей Пример расчета провода линии электропередачи Расчет деревянной П - образной опоры Расчет одностоечной опоры на прочность и устойчивость

Теоретическая механика

Изгиб.

Классификация видов изгиба.

Внутренние силовые факторы при изгибе

Иметь представление о видах изгиба и внутренних силовых факторах.

Знать методы для определения внутренних силовых факторов и уметь ими пользоваться для определения внутренних силовых факторов при прямом изгибе.

Основные определения

Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает внутренний силовой фактор изгибающий момент.

Рис.

Брус, работающий на изгиб, называют балкой.

Изображен брус, закрепленный справа (защемление), нагруженный внешними силами и моментом (рис. 29.1).

Плоскость, в которой расположены внешние силы и моменты, называют силовой плоскостью.

Если все силы лежат в одной плоскости, изгиб называют плоским.

Плоскость, проходящая через продольную ось бруса и одну из главных центральных осей его поперечного сечения, называется главной плоскостью бруса.

Если силовая плоскость совпадает с главной плоскостью бруса, изгиб называют прямым (рис. 29.1).

Если силовая плоскость не проходит через главную плоскость бруса,

изгиб называют косым изгибом (рис. 29.2)

Рис.

Внутренние силовые факторы при изгибе

Пример 1. Рассмотрим балку, на которую действует пара сил с моментом т и внешняя сила F (рис. 29.3а). Для определения внутренних силовых факторов пользуемся методом сечений.

Рассмотрим равновесие участка 1 (рис. 29.36).

Под действием внешней пары сил участок стремится развернуться по часовой стрелке. Силы упругости, возникающие в сечении 1, удерживают участок в равновесии.

Продольные силы упругости выше оси бруса направлены на-

право, а силы ниже оси направлены налево. Таким образом, при равновесии участка 1 получим: ΣFz = 0. Продольная сила N в сечении равна нулю. Момент сил упругости относительно оси Ох может быть получен, если суммировать элементарные моменты сил упругости в сечении 1-1 относительно оси Ох:

.

Этот момент называют изгибающим моментом Мх = Ми.

Из схемы вала на рис. 29.36 видно, что часть волокон (выше оси) испытывают сжатие, а волокна ниже оси растянуты. Следовательно, в сечении должен существовать слой не растянутый и не сжатый, где напряжения а равны нулю.

Такой слой называют нейтральным слоем (НС). Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения бруса называют нейтральной осью.

Нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения. Здесь нейтральный слой совпадает с осью Ох.

Рис.

Практически величина изгибающего момента в сечении определяется из уравнения равновесия: .

Таким образом, в сечении 1-1 продольная сила равна нулю, изгибающий момент в сечении постоянен.

Изгиб, при котором в поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент, называется чистым изгибом.

Рассмотрим равновесие участка бруса от свободного конца до сечения 2 (рис. 29.Зв).

Запишем уравнения равновесия для участка бруса:

; ; .

В сечении бруса 2-2 действует поперечная сила, вызывающая сдвиг.

; .

Изгибающий момент в сечении: МХ2 = т - F(z2 - а);

z2 — расстояние от сечения 2 до начала координат.

Изгибающий момент зависит от расстояния сечения до начала координат.

Изгиб, при котором в поперечном сечении бруса возникает изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным изгибом.

Принятые в машиностроении знаки

поперечных сил и изгибающих моментов

Знаки поперечных сил

Рис.

Поперечная сила в сечении считается положительной, если она стремится развернуть сечение по часовой стрелке (рис. 29.4а), если против, - отрицательной (рис. 29.46).

Знаки изгибающих моментов

Если действующие на участке внешние силы стремятся изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент считается положительным (рис. 29.5а), если наоборот - отрицательным (рис. 29.56).

Рис.

Выводы

При чистом изгибе в поперечном сечении балки возникает только изгибающий момент, постоянный по величине.

При поперечном изгибе в сечении возникает изгибающий момент и поперечная сила.

Изгибающий момент в произвольном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части, относительно рассматриваемого сечения.

Поперечная сила в произвольном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на отсеченной части на соответствующую ось.


Контрольные вопросы

1. Какую плоскость называют силовой?

2. Какой изгиб называют прямым? Что такое косой изгиб?

3. Какие силовые факторы возникают в сечении балки при чистом изгибе?

4. Какие силовые факторы возникают в сечении при поперечном изгибе?


Изгиб.

Построение эпюр поперечных сил

и изгибающих моментов.

Основные правила построения эпюр

Знать порядок построения и контроля эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Уметь строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно строить, предварительно разделив балку на участки нагружения и составляя уравнения, выражающие изменения Q и Мх по участкам.

Напомним, что границы участков нагружения — это сечения, в которых приложены внешние нагрузки.

Примеры решения задач

Пример 1. На балку действуют сосредоточенные силы и момент (рис. 30.1). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Рис.

Решение

Последовательно по участкам нагружения рассматриваем внутренние силовые факторы в сечениях. Силовые факторы определяем из условий равновесия отсеченной части. Для каждого участка записываем уравнения внутренних силовых факторов.

Используем известные правила:

- поперечная сила численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось Оу;

- изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно нейтральной оси, совпадающей с осью Ох;

- принятые знаки поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 30.2):

Рис.

Составим уравнения равновесия.

1. Рассмотрим участок 1 (рис. 30.3а).

Рис.

; ; ; .

Сила Q1 – отрицательная. Сила Q на участке 1 постоянна.

; ; .

Мх – отрицательный.

0 ≤ z1 ≤ 3 м:

при z1 = 0; Мх0 = 0;

при z1 = 3 м; МхА = - 30 кН.

Изгибающий момент меняется по линейному закону, график – прямая линия.

2. Рассмотрим участок 2 (рис. 30.3б).

; ;

;

.

Сила Q2 положительна.

;

;

Рис.

.

:

при z2 = 3 м

МхА = 10 · 3 = 30 кН·м;

Мх – отрицательный;

при z2 = 7 м

.

Знак сменился; МхВ слева определять сразу из зависимостей ; , не составляя уравнения равновесия участка.

Закон каждого из слагаемых этих уравнений определяем отдельно (участок 3).

3. Рассмотрим участок 3 (рис. 30.3в).

- положительна.

.

7 м ≤ z3 ≤ 10 м:

при z3 = 7 м

;

при z3 = 10 м

.

Рис.

 Обращаем внимание, что для точки В получено два значения изгибающих моментов: из уравнения для участка 2 левее точки В и из уравнения для участка 3 — правее точки В.

Это объясняется тем, что именно в этой точке приложен внешний момент и поэтому внутренний момент сил упругости меняется.

В точках приложения внешнего момента на эпюре моментов появится скачок, равный величине приложенного момента.

Поперечная сила в точке В для второго и третьего участков одинакова. Следовательно, приложение внешнего момента не отражается на эпюре поперечных сил. График поперечной силы на участке 3 — прямая линия.

График изменения изгибающих моментов на третьем участке также прямая линия.

4. Построение эпюр. Порядок построения эпюр остается прежним: масштабы эпюр выбираются отдельно, исходя из значений максимальных сил и моментов.

Графики обводятся толстой основной линией и заштриховываются поперек. На графиках указываются значения поперечных сил, изгибающих моментов и единицы измерения.

Правила построения эпюр (рис. 30.1 и 30.4):

Для участка, где отсутствует распределенная нагрузка, попе
речная сила постоянна, а изгибающий момент меняется по линейному закону.

В частном случае, когда поперечная сила на участке равна нулю, изгибающий момент постоянен (чистый изгиб), график - прямая линия, параллельная продольной оси (на рис. 30.1 отсутствует).

В том месте, где к балке приложена внешняя сосредоточенная сила, на эпюре Q возникает скачок на величину приложенной силы, а на эпюре моментов - излом.

В сечении, где к балке приложена пара сил (сосредоточенный момент), а эпюре Ми возникает скачок на величину момента этой пары. Поперечная сила при этом не изменяется.

В сечении на конце балки поперечная сила равна приложенной в этом сечении сосредоточенной силе или реакции в заделке.

На свободном конце балки или шарнирно опертом конце момент равен нулю, за исключением случаев, когда в этом сечении приложена пара сил (внешний момент).

Пример 2. На двухопорную балку действуют сосредоточенные силы и моменты (рис. 30.4). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Для двухопорной балки построение эпюр начинают с определения опорных реакций балки. Для их определения используем систему уравнений равновесия, составляем два уравнения моментов относительно шарнирных опор. Затем проводим проверку правильности решения по уравнению .

Решение

1. Определение реакций в опорах. Уравнения равновесия:

; ;

- 35 ·6 + 80 – RB · 10 + 70 · 12 = 0;

RB · 10 = - 210 + 80 + 840;

RB = 71 кН.

; RA · 10 + F1 · 4 + m + F2 · 2 = 0;

RA · 10 + 80 + 35 · 4 + 70 · 2 = 0$

RA · 10 = - 80 – 140 – 140 = - 360$

RA = - 36 кН.

Рис.

Реакция в опоре направлена в обратную сторону.

Проверка: ΣFy = 0;

 - RA + F1 + RB – F2 = 0; - 36 + 35 + 71 – 70 = 0.

Реакции определены верно.

2. Для упрощения расчетов при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов можно провести расчет по характерным точкам без составления уравнений.

Для этого используют известные связи между поперечной силок и изгибающим моментом и правила построения эпюр.

Участок 1 (от точки А до точки С).

В точке А приложена реакция Ra, направленная вниз. Поперечная сила на участке постоянна: Q1 = Ra = - З6 кН.

Момент в точке А равен нулю.

Точка С (слева). Приложена внешняя сила F1 = 35кН, направленная вверх, - здесь возникнет скачок вверх на величину 35 кН. Момент в точке С (слева) может быть рассчитан по известной зависимости ; .

Участок 2 (от точки С справа до точки В).

Поперечная сила в точке С (справа) равна Qc = - RА + F1; 

Qc = - 36 + 35 = - 1 kH.

В точке С приложена внешняя пара сил с моментом 80 кН·м, следовательно, здесь проявляется скачок на величину приложенного момента: ; .

Поперечная сила на втором участке постоянна: .

Момент в точке В определяется по зависимости

; .

Справа и слева от точки В момент имеет одинаковые значения.

Участок 3 (от точки В (справа) до точки D).

В точке В приложена внешняя сила RВ. Здесь появляется скачок на величину 71 кН, Qb = -1 + 71 = 70 кН.

Дальше по участку поперечная сила не изменяется. Момент в точке D равен нулю, т.к. здесь не приложена внешняя пара сил: MD = 0.

Рассмотрение поперечных сил и изгибающих моментов можно было провести и справа налево.

По полученным значениям сил и моментов строим эпюры (эпюры под схемой вала, рис. 30.4).


Контрольные вопросы и задания

1. Определите величины поперечных сил в сечении 1 и в сечении 2 (рис. 30.5).

Рис.

2. Напишите формулу для расчета изгибающего момента в сечении 3 (рис. 30.6).

Рис.

Из представленных эпюр выберете эпюру поперечной силы
для изображенной балки (рис. 30.7).

Пояснения.

A.  Обратить внимание на знак силы в сечении 1 (знак +).

Б. Обратить внимание на величину скачков в местах приложения внешних сил.

B. Приложение момента пары сил не должно отражаться на эпюре Q.

4. По рис. 30.8 выбрать эпюру изгибающего момента для изображенной на рис. 30.7 балки.

Рис.

Рис.

Пояснения.

A.  На конце бруса приложен момент пары, следовательно, в этом месте изгибающий момент должен быть равен этому же значению.

Б. Обратить внимание на знак момента в сечении 1.

B. В точке А приложена также и сила, поэтому линия, очертившая эпюру, должна быть наклонной.


Теоретическая механика примеры выполнения заданий