.
Основы технической механики Сопративление материалов Поперечная сила и изгибающий момент Шарнирное соединение деталей Методические указания по выполнению контрольной работы Передачи вращательного движения

Основы технической механики Лекции и задачи контрольной работы

Момент инерции

Положение центра масс не полностью характеризует распределение масс системы. Поэтому для более полной характеристики распределения масс вводится еще одно понятие — так называемый момент инерции системы, он характеризует распределение масс системы относительно некоторой точки или оси. Впервые это понятие встречается в работах Гюйгенса (1673 г.), но термин и определение момента инерции дано Л. Эйлером (1749 г.).

Моментом инерции системы материальных точек относительно данной точки О (оси Z или плоскости П) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до данной точки О (оси Z, плоскости П). Обозначая моменты инерции системы относительно точки О, оси Z, плоскости П, имеем:

,

(5)

где mj — масса точки Аj ; rj , hj , dj — соответствующие расстояния до данной точки О, оси Z, плоскости П.

Чтобы вычислить момент инерции твердого тела относительно данной точки или оси, необходимо разбить тело на очень большое конечное число элементарных частей и определить приближенный момент инерции по формулам (5). Затем, чтобы получить более точное значение момента инерции, нужно вычислить предел приближенного момента инерции, предполагая, что число n частей, на которые разбито тело, стремится к бесконечности, а масса mj каждой части — к нулю.

Например, момент инерции тела относительно точки О  (приближенно), более точно

Если тело однородное и имеет правильную геометрическую форму, то его момент инерции можно вычислить с помощью определенного интеграла. Если же тело неоднородное имеет сложную геометрическую форму, то момент инерции его определяется опытным путем.

Значение моментов инерции

Момент инерции относительно различных осей тела необходимо знать при решении многих технических задач. Например, при изучении работы машины или показаний измерительного прибора, при определении степени износа механизма, при динамическом уравновешивании испытуемого тела и т. д.

Осевые, центробежные и полярный момент инерции

Моменты инерции тела относительно осей координат называются осевыми, а момент инерции тела относительно начала координат — полярным.

Вычислим осевые и полярный моменты инерции тела. Пусть имеем твердое тело, разобьем его на отдельные точки и возьмем точку Аj с координатами xj, yj, zj (рис. 3), по определению момента инерции  но , тогда

  аналогично  и

Формулы (6) определят осевые моменты инерции тела:

.

(6)

По определению же найдем полярный момент инерции

, но , тогда

.

(7)

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны.

Центробежными моментами инерции называются суммы, составленные из произведений масс точек тела на произведение 2 координат этих точек. Центробежные моменты инерции:

.

(8)

Если центробежные моменты инерции относительно некоторой системы осей Oxyz равны нулю, то оси называются главными осями инерции. Для них

IXY = IYZ = IZX = 0.

Главные оси инерции были введены Сегнером (1755 г.) и Эйлером (1758 г.). Через каждую точку пространства можно провести три главные оси инерции данного тела. Главные оси взаимно перпендикулярны. Всякую ось, проходящую через центр масс, называют центральной осью тела. Главные же оси, проходящие через центр масс, называют главными центральными осями инерции тела.

Центробежные моменты инерции в отличие от осевых и полярных моментов могут быть и положительными, и отрицательными.

Примечание. Если однородное тело имеет ось симметрии, то она является его главной центральной осью инерции.


На главную