.
Основы технической механики Сопративление материалов Поперечная сила и изгибающий момент Шарнирное соединение деталей Методические указания по выполнению контрольной работы Передачи вращательного движения

Основы технической механики Лекции и задачи контрольной работы

Пример. Вычислить количество движения колеса весом Р, центр масс которого имеет скорость  . Величину  определили по формуле (8). Направлен  так же, как и .

Теорема о движении центра масс

Центр движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Доказательство. Возьмем систему, состоящую и n материальных точек. Пусть точка , скорость которой , ускорение   является центром масс данной системы. Выразим количество движения этой системы через скорость центра масс: . Обе части этого равенства продифференцируем по времени:, но  (из кинематики точки); а  (из теоремы об изменении количества движения системы).

Тогда ,

(9)

что и требовалось доказать. Спроектируем это равенство на оси Oxyz, обозначив проекции  — , а где  — центр масс.

.

(10)

Называются эти уравнения дифференциальными уравнениями движения центра масс. С их помощью можно решать первую и вторую задачи динамики системы. Из выражений (9) и (10) видно, что внутренние силы на движение центра масс не влияют.

Частные случаи

Если , то ;  — центр масс такой системы движется равномерно и прямолинейно.

Если  и , то .

Отсюда видим, что центр масс остается неподвижным. Этот результат выражает закон сохранения положения центра масс системы.

Если  , то ; ; .

Если же в начальный момент центр масс неподвижен, то , тогда  — закон сохранения координаты центра масс.

Пример. Рассмотрим движение человека по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. На человека действуют внешние силы: Р – вес его и реакция плоскости N (нормальная). Если ось х взять вдоль плоскости, то ; ; . Центр масс человека остается неподвижным, т.е. вдоль абсолютно гладкой плоскости человек перемещаться не может (его мускульные усилия будут внутренними силами, а внутренние силы на движения центра масс не влияют).

Если же плоскость негладкая, то , , центр масс перемещается ускоренно по горизонтали. Сила трения при этом направлена в сторону движения человека. Она позволяет ему двигаться.

Порядок решения задач с помощью закона сохранения количества движения системы

Изобразить на рисунке все внешние силы.

Выбрать систему координат.

Записать теорему об изменения главного вектора количеств движения системы материальных точек в проекциях на оси координат.

Если сумма проекций импульсов внешних сил на ось окажется равной нулю, например , то следует приравнять между собой проекции на эту ось главного вектора количеств движения системы в начальный и конечный момент времени, т.е. , из полученного уравнения определить искомую величину.

Порядок решения задач с помощью теоремы о движении центра масс

Изобразить на рисунке все внешние силы системы.

Выбрать систему осей координат.

Записать дифференциальные уравнения движения центра масс:

.

(11)

Вычислить суммы проекций всех внешних сил системы на оси декартовых координат и подставить их в уравнения (11).

В зависимости от условия решать прямую либо обратную задачи динамики.

Контрольные вопросы и задания к теме 3

№ 21

Бревно весом Р перекатывается на двух катках весом Q каждый (рис. 13). Определить количество движения системы, если бревно движется со скоростью v.

№ 22

Два шара весом A — 5H и B — 3H соединены с вертикальной осью ЕД горизонтальным стержнем АВ длиной 20 см и весом 10Н, прикрепленным к оси в точке О, отстоящей на 5 см от шара А.

Вся система вращается вокруг оси ЕД, делая 10 оборотов в минуту. Определить количество движения системы (рис. 14).

К = 7 кгм/с.

К = 0,07 кгм/с.

К = 1,2 кгм/с.

№ 23

Однородная квадратная рама АВСД со стороной а вращается вокруг оси АВ с постоянной угловой скоростью . Вокруг оси СВ, совпадающей с диагональю рамы, вращается однородный диск весом Р1 (рис. 15).

Определить количество движения системы, если вес рамы Р2.

К = 0.

.

 

.

№ 24

Матрос весом Р перемещается по шлюпке весом  с относительной скоростью u. В начальный момент шлюпка имела скорость . Определить, через сколько времени ее скорость станет равной нулю, если сопротивление воды постоянно и равно R (человек движется в сторону движения лодки).

.

.

№ 25

На лодке, движущейся со скоростью v0, находится человек. С какой скоростью будет перемещаться лодка, если человек начнет двигаться по ней с относительной скоростью u. Вес лодки , человека — Р (человек движется в сторону движения лодки). Сопротивлением воды пренебречь.

.

.

.

№ 26

Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью  и приводит в движение колесо II радиусом R и весом Р (рис. 16). Определить количество движения системы, если R1 = R2 = R, ОА — однородный стержень весом Р1.

.

.

.

№ 27

Определить главный вектор количества движения центробежного регулятора, вращающегося вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . При этом углы  изменяются по закону  и верхние стержни поворачиваясь, поднимают шары А и В (рис. 17). Весом муфты пренебречь и весом стержней. Шары считать точечными массами весом Р каждый.

.

.

.

.

№ 28

Определить главный вектор количеств движения данной системы, если угловая скорость первого колеса , . Вес колес Р1 и Р2, центры тяжести их лежат на осях вращения О1 и О2 (рис. 18).

К = 0.

.

.

№ 29

На невесомом стержне, вращающемся вокруг оси О по закону , находятся на расстоянии ОМ1 = l1, ОМ2 = l2 две точки массой m1 и m2. Определить количество движения этой системы (рис. 19).

.

.

.

№ 30

Прямоугольный параллелепипед поставлен на горизонтальную плоскость. На него положено тело А весом Р1, а тело В весом Р2 соединено с телом А гибкой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок С (рис. 20).

Определить зависимость между скоростью параллелепипеда  и скоростью u тела А по отношению к параллелепипеду, если опорные поверхности гладкие, и в начале движения система покоилась. Вес параллелепипеда Q, весом нити и блока пренебречь.

.

.

.

.

№ 31

Может ли человек во время прыжка в воду изменить траекторию своего центра тяжести?

Не может.

Может.

№ 32

Какое условие должно выполнятся, чтобы центр масс не перемещался?

№ 33

Влияют ли внутренние силы на движение центра масс?

Да.

Нет.

№ 34

Определить главный вектор  внешних сил, приложенных к однородному диску, вращающемуся вокруг неподвижной оси, центр тяжести диска расположен на его оси вращения.

.

.

.

Все ответы верны.

№ 35

Какой будет траектория центра масс однородного стержня АВ (рис. 21) при падении его на плоскость? В начальный момент стержень покоился. Плоскость гладкая.

Прямая.

Окружность.

Эллипс.

№ 36

Тонкий однородный стержень ОА = l весом Р вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью  (рис. 22). Определить главный вектор внешних сил. Массой оси пренебречь.

.

.

.

№ 37

На однородный цилиндр О, который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, намотан трос, на свободном конце его подвешен груз А весом Р (рис. 23).

Определить давление на ось цилиндра, если груз опускается с ускорением а, а вес цилиндра равен Q.

.

.

.

.

№ 38

Два однородных стержня соединены шарниром С и расположены так, что СД перпендикулярен АВ (рис. 24).

Определить перемещение стержня АВ, если стержень СД упадет на горизонтальную плоскость. Сопротивления движению не учитывать. Вес стержня АВ — 2Р, стержня СД — Р, АС = ВС = СД = l. В начальный момент система покоилась.

.

Нет верного ответа.

.

№ 39

Груз весом G поднимается при помощи блочного приспособления (рис. 25).

Определить величину реакции оси блока если груз М весом Р опускается с ускорением а. Трением и весом блоков пренебречь.

.

.

.

 

.

№ 40

На каком рисунке (26 или 27) верно изображены силы, приложенные к ведущему и ведомому колесам автомобиля?


На главную