.
Основы технической механики Сопративление материалов Поперечная сила и изгибающий момент Шарнирное соединение деталей Методические указания по выполнению контрольной работы Передачи вращательного движения

Основы технической механики Лекции и задачи контрольной работы

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

Кинетическая энергия системы T равна сумме кинетических энергий всех точек системы, т. е.

  (1)

Рассмотрим кинетическую энергию твердого тела.

Поступательное движение тела

При поступательном движении тела скорости всех точек его в любой момент времени одинаковы. Общую скорость обозначим через скорость центра масс . Тогда, разбив тело на отдельные материальные точки, вычислим его энергию по формуле

.

Итак,  , (2)

где М — масса тела.

Вывод. Кинетическая энергия тела в поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс.

Вращательное движение тела

Вычислим кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω (рис. 38). Для этого разобьем тело на отдельные материальные точки. Энергия каждой точки равна , а для всего тела как для системы ,

где Vj — скорость любой точки Aj тела, определяется по формуле . Тогда

;

где — момент инерции тела относительно оси вращения.

 . (3)

Вывод. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

Плоскопараллельное движение тела

Из кинематики известно, что скорости всех точек плоской фигуры S (рис. 39) относительно мгновенного центра скоростей P распределяется так, как будто эта фигура вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через мгновенный центр скоростей P. Следовательно, энергию этой фигуры можно вычислить, как энергию вращающегося тела:

  (4)

Но положение центра скоростей с течением времени меняется относительно движущейся фигуры, следовательно, меняется и момент инерции I, поэтому полученная формула неудобна для практики. Преобразуем ее, используя теорему о моментах инерции относительно параллельных осей. Заменим . Имеем

,

где (по свойствам плоского движения).

  . (5)

Вывод. Кинетическая энергия тела при плоскопараллельном движении его равна сумме двух энергий: энергии этого тела в поступательном движении со скоростью центра масс и энергии его во вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс.

Рассмотрим теорему об изменении кинетической энергии системы.

Пусть имеем систему, состоящую из n материальных точек. Возьмем из этой системы некоторую точку Aj и запишем для нее теорему об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме:

,

где dAе — элементарная работа внешних сил; dAi — внутренних сил.

Запишем подобные равенства для каждой из п точек системы и все их просуммируем . Имеем .

Внесем знак суммы под знак дифференциала: .

Здесь ,

окончательно . (6)

Полученное равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Проинтегрируем равенство (6), получим

  . (7)

Та же теорема в интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при конечном перемещении ее из одного положения в другое равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

В случае неизменяемой системы теорема примет вид

  . (8)

Здесь . (9)

Пример. На шкив радиусом R, весом Р намотана веревка, к концу которой подвешен груз весом Q (рис. 40). В начальный момент система покоилась. Найти угловую скорость шкива в тот момент, когда груз опустился на высоту h. Массу шкива считать равномерно распределенной по ободу. Трением пренебречь.

Данная система состоит из вращающегося шкива и груза, который движется поступательно. Энергия системы

;

,

где ; ; .

На основании теоремы об изменении кинетической энергии

, но Т0 = 0; .

Тогда ; , поэтому имеем

.

Здесь Т0 = 0 (по условию); (система неизменяемая, так как тела абсолютно твердые, веревка нерастяжима).

Откуда .

Решение задач с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме рекомендуется проводить в такой последовательности:

1) изобразить на рисунке все внешние и внутренние силы системы (в случае неизменяемой материальной системы — только внешние силы);

2) вычислить сумму работ всех внешних и внутренних сил на перемещениях точек системы (в случае неизменяемой материальной системы — только сумму работ внешних сил);

3) вычислить кинетическую энергию системы материальных точек в начальном и конечном положениях системы;

4) воспользовавшись результатами вычислений 2 и 3, записать теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек:

или в случае неизменяемой системы по формуле

  и определить искомую величину.


На главную