|
Задача
Изменить порядок интегрирования
Найти объем тела, заданного неравенствами
Найти поток векторного поля Найти
производную скалярного поля Каписать
канонические уравнения Двойной
интеграл Тройной
интеграл
|
3.Двойной
интеграл в полярных координатах. Вычисление
Пусть
требуется посчитать 
по
области 
,
которая задается в полярных координатах условиями
.
Сделаем
замену переменных 
.
При
этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке 
соответствует
целый отрезок 
на
оси 
. Однако
точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить 
.
, 
.
.
Следовательно,
.
Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях.
Рассмотрим
пример. Найти
.
Решение.
-
это несобственный интеграл, и прежде всего следует установить его сходимость.
По определению, 
.
Первый из интегралов — собственный, второй — сходится по 1-й теореме о сравнении,
т.к. при 
справедливы
неравенства 
,
а 
, очевидно,
сходится.
Обозначим 
(очевидно,
). Тогда,
поскольку обозначение переменной интегрирования можно выбрать произвольным,
,
где 
- квадрат,
а 
- четверти
круга, соответственно, радиусов 
.
Т.к. 
, то
по свойствам 2 и 3 двойного интеграла 
.
В интеграле 
п
перейдем к полярным координатам:
.
Аналогично, 
и
. При стремлении
получаем,
что 
, т.е.
.
