|
Задача
Изменить порядок интегрирования
Найти объем тела, заданного неравенствами
Найти поток векторного поля Найти
производную скалярного поля Каписать
канонические уравнения Двойной
интеграл Тройной
интеграл
|
4.Тройной интеграл. Его основные свойства и приложения. Вычисление тройного интеграла
Рассмотрим
кубируемую область в трехмерном пространстве 
.
Разбиение 
на
части 
осуществляется
непрерывными поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному
случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции 
,
разбиения области
и выбранных
точек 
интегральную
сумму 
,
где 
обозначает
объем области .
Определение.
Пусть 
такое
число, что 
.
Тогда мы говорим, что 
интегрируема
на , число
есть интеграл
по области
и обозначаем
это так: 
.
Как
и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства 1-6. Можно доказать,
что если непрерывна
на , то
она интегрируема на .
Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат
на конечном числе непрерывных поверхностей, лежащих в и
разбивающих на
кубируемые области, то интегрируема
на .
Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу.
Теорема.
Пусть задана
следующими неравенствами: 
,
. 
-
квадрируемая область на плоскости, 
-
непрерывные. Тогда 
Замечание.
Если область задана
неравенствами 
,
где 
- непрерывные
функции, то 
Сформулируем общую теорему о замене переменных.
Теорема. Пусть отображение
устанавливает
взаимно однозначное соответствие между областями 
и
, причем
функции 
-
непрерывно дифференцируемые и 
ни
в одной точке 
.
Пусть -
непрерывная на функция.
Тогда 
Как и для двойного интеграла, теорема остается верна в случае нарушения ее условий на множестве нулевого объема.
