Ускорение точки
При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением.
Пусть точка М (рис. 119, а) движется по какой-то криволинейной траектории и за время Δ t переходит из положения М в положение М1. Расстояние, пройденное точкой, представляет собой дугу MM1; ее длину обозначим Δ s. В положении М точка имела скорость V, в положении М1 — скорость V1. Геометрическую разность скоростей найдем, построив из точки М вектор VI. На рис. 119, а приращение скорости изображается вектором Δ V.
Скорость точки при перемещении ее из положения М в положение М1 изменилась и по величине, и по направлению. Среднее значение ускорения, характеризующего отмеченное изменение скорости, можно найти, разделив вектор приращения скорости Δ V на соответствующее время движения
Переходя к пределу при Δ t→ 0, получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости
Найденное ускорение характеризует изменение численного значения скорости и ее направления. Для удобства ускорение раскладывают на взаимно перпендикулярные составляющие по касательной и нормали к траектории движения (рис. 119, б)
Касательная составляющая аτ совпадает по направлению со скоростью или противоположна ей. Она характеризует изменение модуля скорости и соответственно определяется как производная от функции скорости
Нормальная составляющая аn перпендикулярна к направлению скорости точки. Она определяет изменение направления вектора скорости. Численное значение нормального ускорения определяется по формуле
где г — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.
Составляющие аτ и an взаимно перпендикулярны, и поэтому значение полного ускорения определяется по формуле
Учитывая,
что изменение единичного вектора 
‚ равно основанию образовавшегося равнобедренного треугольника,
получаем:
Рис. 2.14. К определению величины и направления вектора dт/dt
Из рис. 2.14 видно, что
при стремлении t к нулю, углы при основании треугольника стремятся к прямым
углам и, следовательно, вектор 
направлен перпендикулярно вектору 
‚ внутрь траектории (т.е. по главной нормали). С учетом этого:
. (2.17)
Теорема о работе силы: Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении А=А1+А2+…+Аn.
Работа силы тяжести: 
, >0, если начальная точка выше конечной.
Работа
силы упругости: 
–работа силы упругости равна половине произведения
коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений
(или сжатий) пружины.
