Расчеты на прочность и жесткость при кручении
Пример. По данным примера 16 определить диаметр вала, удовлетворяющий условиям прочности и жесткости на наиболее напряженном участке. Материал вала — сталь 40. Допускаемое напряжение на кручение [τк] = 30 МПа, допускаемый угол закручивания [θ°] = 1.10-2 рад/м = 10.10-5 рад/мм; модуль сдвига G = 8.104 Н/мм2.
Решение. По эпюре крутящих моментов (см. рис. 82) видно, что наибольший крутящий момент Мк = 2067 Нм.
По условию прочности на кручение [см. формулу (76)] определяем:
Выражая полярный момент сопротивления через диаметр вала Wp ≈ 0,2d3, находим его значение
По условию жесткости [см. формулу (80)] определяем полярный момент инерции
С другой стороны, выражая полярный момент инерции через диаметр вала Jp = 0,1 d 4, находим его значение
Окончательно принимаем диаметр вала по условию жесткости
Пример. В поперечных сечениях стального вала возникает крутящий момент Мк = 2000 Нм. Диаметр вала d = 65 мм, модуль сдвига G = 0,8.105 Н/мм2. Проверить прочность и жесткость вала, если допускаемое напряжение [тк] = 40 МПа, а допускаемый угол закручивания [6°] = 0,85 град/м.
Решение. Прочность вала проверяем по формуле (75)
где
Для проверки жесткости вычислим значение полярного момента инерции
Величину допускаемого угла закручивания переводим в радианы на 1 мм!
Подставив в формулу (78) значения Jp и [б], получим
Следовательно, в этом примере диаметр вала удовлетворяет и условию прочности, и условию жесткости.
Найдем абсолютное перемещение точки М за малый промежуток времени t =
t1 - t . Точка М, двигаясь по кривой АВ (относительное движение), совершает за
промежуток времени t относительное перемещение ММ" . В это же самое
время сама кривая АВ перемещаясь с подвижными осями (переносное движение) займет
положение А2В2. В результате этих двух перемещений точка М займет положение М1,
относительно основной неподвижной системы отсчета 0xyz, совершив за время t
абсолютное перемещение ММ1. Переносное движение относительной траектории, в свою
очередь, можно считать состоящей из поступательной части (перемещение АВ в положение
А1В1) и вращательной части (перемещение А1В1 в положение А2В2 вращением вокруг
точки М' с мгновенной угловой скоростью 
). Из рисунка видно, что если бы кривая АВ двигалась
только поступательно, то она за время t пришла бы в положение А1В1, а
точка М - в положение М". Появление перемещения М"M1, следовательно,
обусловлено вращательной частью переносного движения кривой АВ. Из рисунка видно,
что абсолютное перемещение точки М за время t можно выразить следующим
векторным равенством:
. (2.45)
Принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю. или в проекциях: . Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики. Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.
