Нормальные напряжения при изгибе
Нанесем на боковую поверхность балки, испытывающей чистый изгиб (рис. 101, а), продольную линию 00х на половине высоты и ряд поперечных параллельных между собой линий. При нагружении двумя противоположно направленными парами сил, действующими в продольной плоскости симметрии (рис. 101, б), балка деформируется — изогнется выпуклостью вниз. Линии на боковой поверхности балки останутся прямыми,
но параллельность их нарушится. Расстояния между концами этих линий на выпуклой стороне увеличатся, а на вогнутой уменьшатся. Расстояния между этими линиями на половине высоты балки останутся такими же, как до деформации. Из этого можно заключить, что при изгибе продольные волокна балки на выпуклой стороне удлиняются, а на вогнутой укорачиваются; слой волокон, лежащих на половине высоты балки, сохраняет, искривившись, неизменную длину.
Растягивающие и сжимающие напряжения в поперечных сечениях балки соответствуют удлинению и укорочению ее продольных волокон. Слой, длина которого не изменяется при изгибе, не испытывает напряжений и называется нейтральным слоем.
Итак, при изгибе поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются одно относительно другого вокруг некоторых осей, лежащих в их плоскостях. Каждое поперечное сечение поворачивается вокруг линии его пересечения с нейтральным слоем. Эта линия называется нейтральной осью поперечного сечения.
Высказанное положение носит название гипотезы плоских сечений.
Деформации волокон не зависят от положения волокон по ширине балки. Следовательно, нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются одинаковыми по ширине балки.
Исходя из этих гипотез, найдем величину удлинения какого-либо волокна балки при чистом изгибе. Положим, что два близких поперечных сечения балки (рис. 102) повернулись одно относи-
Отношение осевого момента инерции к расстоянию до наиболее удаленных от нейтральной оси волокон симметричного сечения называют осевым моментом сопротивления
Наибольшее по абсолютному значению нормальное напряжение в симметричном сечении (растягивающее или сжимающее) может быть определено по формуле
(89)
Формула (87) для определения нормальных напряжений выведена для чистого изгиба. Однако ею можно пользоваться и
в общем случае прямого поперечного изгиба, когда в сечениях возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Поперечные силы, как показывают опыт и теоретические исследования, практически не влияют на нормальные напряжения. Опасным в отношении нормальных напряжений в балках с постоянным сечением будет сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее абсолютное значение.
Упражнение 27
В каких единицах измеряется осевой момент инерции сечения? А. м4. Б. м3. В. ма.
Зависят ли значения нормальных напряжений от формы поперечных сечений балки?
А. Зависят. Б. Не зависят.
3. В каких точках поперечного сечения балки возни
кают наибольшие нормальные напряжения (рис. 104)?
А. В точке О. Б. В точке Л. В. В точке В.
Чему равен осевой момент сопротивления прямоугольника и круга?
Укажите, для какой точки поперечного сечения балки (рис. 104) нормальные напряжения могут быть вычислены по формуле
А. Для точки О. Б. Для точки В. В. Для точек Л и С.
Найденная таким образом точка Q и будет являться мгновенным центром ускорений. Действительно, по формуле распределения ускорений, имеем
, где 
.
Подставляя сюда AQ из (2.44), находим, что WQA
= WA . Кроме того, вектор 
должен
образовывать с линией AQ угол и, следовательно, вектор
параллелен 
, но направлен в противоположную сторону.
Поэтому
и 
.
Если теперь за полюс выбрать точку Q , то ускорение произвольной точки М, согласно
(2.43) будет равно:
, 
,
