Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа. Комплекснозначная функция f(t), tÎ(-¥,¥) называется оригиналом, если

1)      f(t)=0 при t<0

2)      в "(a,b) есть лишь конечное число разрывов первого рода. Иногда, дополнительно будет требоваться выполнение условия Липшица

|f(t+h)-f(t)|£A|h|^a, для всех h,|h|£h₀, a£1 на интервалах непрерывности функции

3)      $M $s "t: |f(t)|£Me^st (*)

Число , S — множество тех s, для которых выполенно условие (*), называется показателем роста оригинала.

Пример. Функция Хевисайда

является оригиналом нулевого показателя роста.

Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию комплексного переменного p=s+is, определяемую равенством

Пишут F=L[f], F ¸ f, f ¸ F.

Свойства преобразования Лапласа. Далее в этом разделе везде под f(t) понимается f(t)H(t).

Преобразования Лапласа простейших функций: ,

Свойство линейности af(t)+bg(t)¸aF(p)+bG(p).

Свойство подобия. При a>0

Свойство запаздывания. Для t>0 f(t-t)¸e^-ptF(p).

Дифференцирование изображения F⁽ⁿ⁾(p)¸(-1)ⁿtⁿf(t).

Дифференцирование оригинала f¢(t)¸pF(p)-f(0).

Следствие. f⁽ⁿ⁾(t)¸pⁿF(p)-p^{n-1f(0)-pn-2f}¢(0)-…-f^(n-1)(0)

Интегрирование изображения

Если f(t)¸F(p), Re p > s₀ и - оригинал, то

Интегрирование оригинала.

Если f(t)¸F(p), Rep > s₀, то

Свертка оригиналов и умножение изображений.

Свертка определяется по формуле . Отметим, что f*g=g*f. f*g¸F(p)G(p)

Отметим, что если f, g — оригиналы, то и f*g — оригинал.

Умножение оригиналов, свёртка изображений

Таблица основных свойств преобразования Лапласа