Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Задача 4. Заряженная частица совершает пространственное движение в однородном и постоянном магнитном поле:

с постоянными параметрами R, vz, w. Складывая квадраты первых двух уравнений, получаем винтовую линию

с шагом. Винтовая линия изображена на Рис. 4. Из закона движения вытекают следующие выражения для вектора скорости

и квадрата его модуля , а также аналогичных величин для ускорения

.

II. Движение в полярных координатах.

Задача 5. Точка A движется в плоскости (x, y), причём закон её движения задан в полярных координатах: r=r(t), φ=φ(t).

Определить скорость и ускорение точки.

Рис. 5. Полярные координаты

Проведём дополнителные координатные оси ζ и η вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему как показано на Рис. 5. Обозначим посредством eζ и eη “новые” единичные векторы вдоль осей ζ и η соответственно. Компонента любого вектора вдоль оси ξ называется радиальной, а вдоль оси η — трансверсальной. Если точка движется не по прямой линии, то векторы eζ и eη со временем меняют своё направление. Этим они отличаются от постоянных ортов i и j. Связь между двумя базисами даётся известной формулой вращения системы координат:

.

Дифференцируя первую строчку по времени и сравнивая результат со второй строкой, приходим к следующему выражению для :

.

Радиус-вектор, по построению, коллинеарен eζ::

.

При вычислении вектора скорости в полярных координатах необходимо учитывать изменение направления орта :

.( 8 )

Проекция называется азимутальной, а проекция - трансверсальной скоростью. Аналогичным образом вычисляется вектор ускорения:

. (9)

Описание движения во вращающейся системе отсчёта приобретает новые аспекты. В последней формуле и имеют тот же смысл, что и в декартовой системе. Член с описывает центростремительное ускорение точки, неподвижной относительно вращающейся системы отсчёта, а слагаемое - кориолисово ускорение.

На главную сайта Dvoika.net