Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Проекция ускорения на естественные оси.

Естественными осями при изучении криволинейного движения на плоскости принято считать касательную и нормаль к траектории. Тангенциальная и нормальная компоненты векторов часто позволяют полнее раскрыть физический смысл рассматриваемого движения. Вводимые ниже понятия напоминают те, которыми мы пользовались в полярной системе координат, но они не зависят от выбора системы отсчёта.

Задача 11. Движение точки в плоскости описывается в декартовых координатах как x=x(t), y=y(t). Определить проекции скорости и ускорения на естественные оси, а также радиус кривизны траектории.

Рис. 7. Касательная и нормаль

Направим координатные оси τ и n вдоль касательной и нормали к траектории, как показано на Рис. 7. Обозначим eτ и en единичные векторы вдоль соответствующих осей. Вектор eτ направлен вдоль скорости:

.

Формулапозволяет получить удобное выражение для тангенциального ускорения. Продифференцировав её по времени, получим

.

Так как длина вектора не меняется, то направлен ортогонально к . Отсюда

. ( 19 )

Вектор нормали en ищем в виде

,

где подлежащие определению проекции a и b удовлетворяют условиям нормировки

и ортогональности:

.

Из двух решений этой системы уравнений мы выбираем такое, при котором вектор нормали направлен в сторону вогнутости траектории, как на Рис. 7:

.

Проекция ускорения на касательную wτ равна скалярному произведению

. ( 20 )

Аналогично вычисляем wn:

. ( 21)

Перейдём к вычислению радиуса кривизны ρ траектории в данной точке. Он задаётся условием

Рис. 8 Радиус кривизны.

,

где ds — смещение вдоль траектории, соответствующее изменению угла dφ. Обе эти величины на Рис. 8 считаем бесконечно малыми. Следовательно, можно пренебречь изменением абсолютной величины скорости на отрезке ds и воспользоваться известной формулой для центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности:

.

Подставляя сюда ( 21 ), приходим к

.

Радиус кривизны бесконечно велик в случае прямолинейной траектории.

Рис. 9.

На главную сайта Dvoika.net