ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12
Исследование переходных процессов в линейной электрической цепи второго порядка
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью работы является уяснение сущности переходных процессов в электрических цепях второго порядка, развитие навыков теоретического анализа и экспериментального исследования переходных режимов в подобных цепях.
2. УКАЗАНИЯ К РАБОТЕ
Процессы, возникающие в электрических цепях при переходе из одного установившегося режима к другому . называются переходными. Переходные процессы возникают в цепях при коммутации, внезапном изменении параметров, коротких замыканиях и т.д. Во время переходных процессов токи и напряжения в цепях определяются не только источниками энергии, но и реактивными элементами, способными накапливать энергию (накопителями).
Как известно, энергия в макромире не изменяется скачком, поэтому ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут измениться мгновенно (скачком).
Законы коммутации
1. В цепи с индуктивным элементом ток в начальный момент времени после коммутации имеет то же значение, которое он имел непосредственно перед коммутацией, а затем он начинает плавно изменяться с этого значения.
2. Напряжение на емкости в начальный момент времени после коммутации имеет то же значение, которое оно имело непосредственно перед коммутацией, а затем с этого значения оно начинает плавно изменяться.
В настоящей лабораторной работе исследуется цепь с двумя накопителем энергии индуктивностью и емкостью. Подобные электрические цепи называют цепями второго порядка.
RLС-цепь изображена на рис.1. В общем случае уравнение переходного процесса для подобной цепи имеет вид
L
+ R
+
i = 
(1)
Решение данного дифференциального уравнения представляет собой сумму двух составляющих свободного и установившегося. Свободная составляющая тока есть общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а установившаяся составляющая находится как частное решение неоднородного уравнения и определяется правой частью уравнения (1). Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид
Lp2 + Rp + 1/C = 0 . (2)
Корни уравнения (2)
p1,2 = - 
, (3)
или
p1,2 = - 
, (4)
где: d = R/2L коэффициент затухания;
w0 = 
резонансная частота.
Полный ток в цепи определяется уравнением
i(t) = iуст + A1 exp(p1t) + A2 exp(p2t) (5)
При включении данной цепи на постоянное напряжение U0 уравнение процесса приобретает вид
L + R +i = 0 . (6)
Имея в виду нулевые начальные условия, после некоторых преобразований для тока цепи получаем
i(t) = 
. (7)
Как известно, возможны три случая:
Корни действительные отрицательные числа p1 ¹ p2, процесс является апериодическим. Ток выражается формулой
i(t) = 
; (8)
При больших С влияние емкости мало и кривая тока приближается к кривой тока в цепи RL, при малых значениях L кривая тока близка к кривой тока в цепи RC;
Корни действительные, причем p1 = p2, критический (предельный) случай апериодического процесса, ток в этом случае определяется формулой
i(t) = (U0/L)t exp(-dt); (9)
Наименьшее активное сопротивление контура, при котором процесс является
апериодическим, называется критическим сопротивлением и может быть определено
из формулы Rкр = 2
;
Корни комплексные сопряженные p1,2 = -d ±
jwсв , где wсв
= 
- угловая частота свободных
или собственных колебаний в цепи RLC. В цепи имеет место колебательный процесс
и ток выражается зависимостью
i(t) = (U0/wсвL) exp(-dt) sin(wсвt). (10)
Колебания возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно, причем эти колебания сопровождаются потерей энергии в сопротивлении. Величину 1/d = 2L/R называют постоянной времени колебательного контура.
Если начальные условия являются ненулевыми, например, начальное напряжение на емкости равно Uc , то выражение для тока изменяется приобретая вид
i(t) = 
. (11)
Такое положение имеет место при переключении с одного постоянного напряжения на другое.
