Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Волновая функция

    Наличие у частицы волновых свойств приводит к тому, что в квантовой физике ей сопоставляется волновая функция (x,y,z,t).
    Физический смысл волновой функции. Величина |(x,y,z,t)|²dV пропорциональна вероятности того, что частица будет обнаружена в момент времени t в объеме dV в окрестности точки (x,y,z).
    Волновая функция системы невзаимодействующих частиц (r₁,r₂,…r_n,t) связана с одночастичными волновыми функциями _i(r_i,t) соотношением

(r₁,r₂,…r_n,t) = ₁(r₁,t)·₂(r₂,t)·…_n(r_n,t).

Свободное движение частицы

    Волновая функция свободно движущейся частицы с энергией E и импульсом p имеет вид

 (r,t) = Aexp[i(kr - t)] = Aexp[i(pr - Et)/] .

    Константа A может быть найдена из условия нормировки волновой функции

A = (2)^-3/2.

Т.е. в тех случаях, когда частица находится в области пространства, где действующие на нее силы равны нулю (свободное движение), энергия частицы может принимать любые значения. Энергетический спектр свободно движущейся частицы непрерывный.

Частица в прямоугольной яме с бесконечными стенками

    Если область пространства, в которой может находится частица ограничена, возникает дискретный спектр энергий. Рассмотрим это на примере одномерной прямоугольной ямы c бесконечными стенками

Частица всегда находится в области 0 < x < a. Вне ее = 0. Запишем уравнение Шредингера для одномерного случая

Его решение

где k = (2mE/²)^1/2. Из граничных условий и условий непрерывности имеем

Каждому значению энергии соответствует волновая функция, которую с учетом условия нормировки

можно записать в виде

(см. рис.1). В отличие от классической частицы, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию E < ²²/(2ma²).

Частица в потенциале гармонического осциллятора

    Потенциал гармонического осциллятора (так же, как и в предыдушем примере рассмотрим одномерный случай)

где ₀= (k/m)^1/2 - собственная частота колебаний гармоничекого осциллятора. Решение уравнения Шредингера для этого потенциала можно записать в виде

где h_n(x) - полиномы степени n, b(x) = (km)^1/2x²/2. Спектр значений энергий имеет вид

    Энергетический спектр гармонического осциллятора эквидистантный - уровни находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.