Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Потенциальная яма

    Частица массы m находится в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины (рис. 1). Потенциальная энергия U удовлетворяет следующим граничным условиям

При таких граничных условиях частица находится внутри потенциальной ямы 0 < x < L и не может выйти за ее пределы, т.е.

Условие нормировки

Используя станционарное уравнение Шредингера для случая U = 0, получим

или

где

Уравнение (5) описывает положение частицы внутри потенциальной ямы. Оно имеет решение

представляющее собой суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направления вдоль оси x.
    Постоянные A и B находятся из граничных условий (2)

Следовательно

Условие (L) = 0 дает

Отсюда

Подставляя полученное значение a в соотношение (6), получим соотношение для энергии частицы в бесконечной прямоугольной яме

Волновые функции (9) имеют вид

Константу A можно получить из условия

Нормированные волновые функции и собственные значения энергии для различных состояний приведены в табл. 1.

Таблица 1.

n	Собственные функции	Плотности вероятности *	Собственные значения энергии
1	i(2/L)1/2sin(x/L)	(2/L)sin2(x/L)	22/2mL2
2	i(2/L)1/2sin(2x/L)	(2/L)sin2(2x/L)	422/2mL2
3	i(2/L)1/2sin(3x/L)	(2/L)sin2(3x/L)	922/2mL2
n	i(2/L)1/2sin(nx/L)	(2/L)sin2(nx/L)	n222/2mL2

На рис. 2 показаны плотности вероятности обнаружения частицы в различных квантовых состояниях.
    Таким образом, для бесконечной одномерной потенциальной ямы имеем следующее.

1. Энергия частицы принимает определенные дискретные значения. Обычно говорят, что частица находится в определенных энергетических состояниях.
2. Частица может находиться в каком-то одном из множества энергетических состояний.
3. Частица не может иметь энергию равную нулю.
4. Каждому значению энергии E_n соответствует собственная волновая функция _n, описывающая данное состояние.
5. Для собственной функции ₁(x) вероятность обнаружить частицу в точке x = L/2 максимальна. Для состояния ₂(x) вероятность обнаружения частицы в этой точке равна 0.

    В случае гармонического осциллятора потенциальная энергия U имеет вид

Станционарное уравнение Шредингера для гармонического осциллятора имеет вид

Также как и в случае прямоугольной потенциальной ямы наблюдается дискретный спектр энергий состояний

где  = (k/m)^1/2. Однако в отличие от прямоугольной ямы, спектр энергий эквидистантный. Каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция, описываемая полиномом Эрмита H_n.

где a² = 4²m/h, = ax. В табл. 2 приведены собственные значения энергии E_n и нормированные собственные функции гармонического осциллятора _n

Таблица 2

n	Собственные значения энергии En	Нормированные собственные функции n
0	E0 = h/2	0 = e-a2x2/2
1	E0 = 3h/2	1 = 2axe-a2x2/2
2	E0 = 5h/2	2 = (4a2x2 - 2)e-a2x2/2
3	E0 = 7h/2	3 = (8a3x3 - 12ax)e-a2x2/2
n	En = (n + 1/2)h	n = Hn(ax)e-a2x2/2

На рис. 3 показана плотность распределения волновой функции гармонического осциллятора.
    Классический осциллятор не может выйти за пределы значений x, в которых потенциальная энергия равна энергии E_n для данного значения квантового числа n. В квантовом случае ситуация другая - существует отличная от нуля вероятность обнаружить частицу за пределами потенциальной ямы, т.е. частица может проникать на небольшое расстояние за стенку барьера.