Момент инерции твердого тела
Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться относительно некоторой оси (рис.). Момент импульса i-й точки тела этой определяется формулой:
. (1.84)
Выражая линейную скорость точки через угловую тела и используя свойства векторного произведения, получим
(1.85)
Спроектируем момент импульса на ось вращения: — эта проекция определяет относительно этой оси. Получим
. (1.86)
где zi,- координата i—точки вдоль оси Z, a Ri, — расстояние точки от вращения. Суммируя по всем частицам тела, получим момент импульса всего тела относительно вращения:
. (1.87)
Величина
(1.88)
является моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент импульса данной вращения принимает, таким образом, вид:
Mz = J·ω. (1.89)
Полученная формула аналогична формуле Pz = mVz для поступательного движения. Роль массы играет момент инерции, роль линейной скорости — угловая скорость. Подставив выражение (1.89) в уравнение момента импульса (2.74), получим
J·βz = Nz. (1.90)
где βz. — проекция
на ось вращения углового ускорения>
. Это уравнение эквивалентно по форме второму закону
Ньютона.
В общем случае несимметричного тела вектор M не совпадает по направлению с осью вращения и поворачивается вокруг этой ocи вместе телом, описывая конус. Из соображений симметрии ясно что для однородного тела, симметричного относительно оси вращения, момент импульса точки, лежащей на направлением вращения. этом имеет место соотношение:
. (1.91)
Из выражения (1.90) следует, что при равенстве нулю момент внешних сил произведение Jω остается постоянным и изменение момента инерции влечет за собой соответствующее угловой скорости вращения тела. Этим объясняется известное явление, состоящее в том, человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки стороны либо прижимая их к туловищу, изменяет частоту вращения.
Из полученных выше выражений ясно, что момент инерции является такой же характеристикой свойства макроскопического тела в отношении вращательного движения, как инертная масса материальной точки поступательного движения. выражения (1.88) следует, вычисляется путем суммирования по всем частицам тела. В случае непрерывного распределения массы его объему естественно перейти от к интегрированию, вводя плотность Если тело однородно, то определяется отношением тела:
. (1.92)
Для тела с неравномерно распределенной массой плотность в некоторой точке определяется производной
. (1.93)
Момент инерции представим в виде:
, (1.94)
где> V — микроскопический объем, занимаемый точечной массой.
Поскольку твердое тело состоит из большого числа частиц, практически непрерывно заполняющих весь занимаемый телом объем, в выражении (1.94) микроскопический объем можно считать бесконечно малым, то же время полагая, что точечная масса «размазана» по этому объему. Фактически мы производим сейчас переход от модели точечного распределения масс к сплошной среды, какой действительности и является благодаря большой его плотности. Произведенный позволяет формуле (2.94) заменить суммирование отдельным частицам интегрированием всему объему тела:
. (1.95)
Рис. Вычисление момента инерции однородного диска
Здесь величины ρ и r являются функциями точки, например, ее декартовых координат.
Формула (1.95) позволяет вычислять моменты инерции тел любой формы. Вычислим в качестве примера момент однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости и проходящей через его центр (рис.).
Поскольку диск однороден, плотность можно вынести из-под знака интеграла. Элемент объема диска dV = 2πr·b·dr, где b— толщина диска. Таким образом,
, (1.96)
где R — радиус диска. Введя массу диска, равную произведению плотности на объем диска π·R2 b, получим:
. (1.97)
Нахождение момента инерции диска в рассмотренном примере облегчалось тем, что тело было однородным и симметричным, а момент вычислялся относительно оси симметрии тела. В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг оси, вычисление может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: равен сумме J0 параллельной данной проходящей через центр тела, произведения массы на квадрат расстояния между осями:
J=J0+ma2. (1.98)
Например, момент инерции диска относительно оси О' в соответствии с теоремой Штейнера:
(1.99)
