Вынужденные колебания
Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, над компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого либо периодически действующего фактора X(t), изменяющегося по гармоническому закону.
В случае механических колебаний таким
фактором является вынуждающая сила>
. Закон движения для пружинного маятника будет
иметь вид
В общем виде дифференциальное уравнение вынуждающих колебаний имеет вид
Это уравнение - линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Его решение равно сумме общего решения>
однородного уравнения и частного решения неоднородного
уравнения. Можно показать частное решение имеет вид 
где>
задаются формулами
Резонанс
Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы.
Амплитуда вынужденных колебаний
имеет максимум при частоте 
,
которая называется резонансной частотой. (Первая производная знаменателя 
обращается в нуль при 
.
При>
, амплитуда достигает предельного значения
, которое называется статическим отклонением. В случае
механических колебаний 
При>
, амплитуда стремится к нулю.
В случае малого затухания, когда>
, резонансная амплитуда
где Q — добротность колебательной системы,>
- статическое отклонение. Таким образом, добротность характеризует
резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше 
.
