Угловая скорость и угловое ускорение.
Пройденный путь S , перемещение dr, скорость v тангенциальное и нормальное ускорение at, an, представляют собой линейные величины. Для описания криволинейного движения наряду с ними можно пользоваться угловыми величинами.
Рассмотрим более подробно важный и часто встречаемый случай движения по окружности. В этом случае наряду с длиной дуги окружности движение можно характеризовать утлом поворота φ вокруг оси вращения. Величину
(1.15)
называют угловой скоростью. Угловая
скорость представляет собой вектор, направление которого связывают с направлением
оси вращения тела (рис.).
Обратим внимание на то, что, в то время как сам угол поворота φ является скаляром, бесконечно малый поворот dφ — векторная величина, направление которой определяется по правилу правой руки, или буравчика, и связано с осью вращения. Если вращение равномерным, ω=const точка окружности поворачивается равные углы вокруг оси вращения за времена. Время, которое она совершает полный оборот, т.е. 2π, называется периодом движения Т. Выражение (1.15) можно проинтегрировать пределах от нуля до Т получить угловую частоту
. (1.16) Небольшое тело пустили снизу вверх
по наклонной плоскости, составляющей угол 15°
с горизонтом.
Число оборотов в единицу времени есть величина, обратная периоду, — циклическая частота вращения
ν =1/T. (1.17)
Нетрудно получить связь между угловой и линейной скоростью точки. При движении по окружности элемент дуги связан с бесконечно малым поворотом соотношением dS = R·dφ. Подставив его в (1.15), находим
v = ωr. (1.18)
Формула (1.18) связывает величины угловой и линейной скоростей. Соотношение, связывающее векторы ω v, следует из рис. А именно, вектор скорости представляет собой векторное произведение вектора радиуса-вектора точки r:
. (1.19)
Таким образом, вектор угловой скорости направлен по оси вращения точки и определяется правилу правой руки или буравчика.
Угловое ускорение — производная по времени от вектора угловой
скорости ω (соответственно вторая угла поворота)>
Выразим тангенциальное и нормальное ускорение через угловые скорости ускорение. Используя связь (1.18),(1.12) (1.13), получаем
at = β·R, a =ω2·R. (1.20)
Таким образом, для полного ускорения имеем
. (1.21)
Величина β играет роль тангенциального ускорения: если ускорение при вращении точки не равно нулю, a =R·ω2 ≠ 0.
