Уравнение состояния идеального газа
В процессе вывода соотношения (3.6) возникли еще две макроскопические характеристики системы многих частиц — давление P и объем V . Задание температуры, давления объема определяет состояние (тела). Эти величины называются параметрами состояния. На наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 3 м находится груз массой 50 кг. Какую силу надо приложить, чтобы:
а) удерживать тело на наклонной плоскости (μ = 0,2);
б)
в) опускать его вниз с ускорением 1 м/с2?
Давление P, объем V и температура, T не являются независимыми величинами. Соотношение, связывающее эти три параметра, вида f(P, V, T) = 0 называется уравнением состояния. Найдем уравнение состояния идеального газа. Подставляя в соотношение (3.6) выражение (2.3), получим
PV = N·kБ·T. (3.7)
Отметим универсальный характер полученного уравнения: в него не входят никакие величины, характерные для определенного газа, а только числа частиц. Отсюда следует, частности, что при одинаковых давлении и температуре разные газы, занимающие равные объемы, содержат них молекул. Этот закон был установлен ранее опытным путем Авогадро.
Перепишем уравнение состояния в терминах объема, приходящегося на единицу вещества — моль. Один моль это количество граммах, численно равное его молекулярному весу. Например, 1 кислорода содержит 32 г вещества. Удобство этой единицы измерения состоит том, что по определению моле любого содержится одинаковое число молекул, называемое числом Авогадро NA . Оно равно 6·1023 молекул. Число молекул объеме газа можно записать виде:
N = ν·NA,
где v — число молей данного вещества в указанном объеме. В этих обозначениях уравнение состояния принимает вид:
PV=v·R·T. (3.8)
Величина R = kБNA называется газовой постоянной. Пусть при нагревании газа на 1 К объем, занимаемый молем газа, изменился неизменном давлении ΔV . Представляя давление в виде P = F/S, а объем сосуда видим, что величина PΔV = FΔh есть работа, произведенная газом его расширении. Таким образом, физический смысл постоянной состоит том, она численно равна работе, совершенной постоянном давлении.
Идеальный газ в поле силы тяжести
Каково поведение идеального газа в поле внешней силы? Для определенности качестве силы возьмем хорошо известную силу тяжести mg. Под действием механическая система частиц приобретает импульс и перемещается как целое поступательно направлении силы. В идеальном газе, находящемся во внешнем сил, каждая отдельная частица силы, а также соответствующую потенциальную энергию. Однако газе наряду с упорядоченным движением действия существует хаотическое тепловое движение. результате конкуренции между этими двумя типами движений возникает неравномерное распределение макроскопических параметров: плотности частиц, давления, температуры по объему, занимаемому газом.
Рассмотрим столб газа
сечением S, находящийся при постоянной температуре в поле силы тяжести. Выделим
слой газа толщиной dz на высоте z и вычислим давление газа на его основания. Давление
слоя газа на верхнее и нижнее основания слоя разное — оно различается в результате
действия силы тяжести. Очевидно, разность давлений равна весу газа, заключенного
в слое, отнесенному к единице площади основания столба.
Пусть разность давлений есть dP. Давление газа с ростом высоты уменьшается, поэтому dP равно весу слоя со знаком минус. Вес в объеме dV = dz·S равен ρ·g·dV, где ρ — плотность газа, g ускорение силы тяжести. Таким образом,
dP = ‑ρ·g·dV/S = ‑ρ·g·dz.
По определению>
. Выразим отношение N/V с помощью уравнения
состояния (3.7), после чего находим:
.
Интегрируя это соотношение, получим>
, где P0 — константа, определяемая пределами интегрирования.
Окончательно имеем:
. (3.9)
Здесь P0 — давление при z = 0. т. е. у основания столба. Аналогично с высотой изменяется и плотность частиц
. (3.10)
Давление и плотность газа распределены по объему неоднородно, они принимают максимальные значения у основания столба убывают с высотой.
Величина, входящая в показатель экспоненты формулах (3.9) и (3.10), есть потенциальная энергия частицы поле тяжести U = mgz-Таким образом, распределение молекул произвольном потенциальном внешнем поле, котором обладают потенциальной энергией U(r), может быть описано формулой:
. (3.11).
Эта формула называется распределением Больцмана. Здесь n0 — плотность частиц в точках пространства, для которых потенциальная энергия принята равной нулю.
Согласно распределению Больцмана число частиц,
обладающих определенными значениями потенциальной энергии определяется отношением
величины U к тепловой частицы kБT. Чем больше энергия теплового движения, тем
более разупорядочена система значит, однородно распределены в пространстве. В
самом деле, если kБT >> U,>
, и из формулы (3.11) следует, что n = n0 при любом значении
U. В случае kБT << U распределение частиц максимально упорядочено: плотность
частиц максимальная состоянии с минимальной потенциальной энергией Umin, в то
время как плотность частиц в других состояниях равна нулю.
