Распределение Больцмана и вероятность.
Распределение Больцмана представляет собой отношение числа частиц, обладающих определенной потенциальной энергией, или, что то же самое, находящихся в некоторой точке силового поля, к полному числу частиц газе. Тот факт, та или иная частица оказывается пространства, есть событие случайное, потому оно является следствием хаотического теплового движения. Поэтому можно утверждать, распределение вероятность того, некоторое число будет иметь заданное значение энергии. Рассмотрим основные свойства вероятности. Теория вероятности изучает явления, которые имеют случайный характер. Случайным называется событие, которое нельзя предсказать с определенностью. Этим отличается от достоверного события. Пример случайного события — приход молекулы заданную точку результате беспорядочного движения газе частиц. той по траектории заданной скоростью без столкновений. В первом случае появления меченой ожидать вероятностью. Маленький шарик падает с высоты 50 см на наклонную плоскость, составляющую угол 45° к горизонту. Найдите расстояние между точками первого и второго ударов шарика о плоскость.
Вероятностью P(A) некоторого события A называется частота появления данного в общем числе событий A. Ясно, что вероятность есть положительная величина. Из ее определения следует, 0 <= P <= 1. Если событие достоверно, то P = 1. не может произойти вообще,
Вероятность сложного события, состоящего из двух независимых событий, равна произведению вероятностей каждого событий.
Случайное событие, в частности, может состоять том, что какая-либо физическая величина имеет определенное, но произвольное значение. Такие величины называются случайными. Случайные могут принимать как дискретные, так и непрерывные значения.
Если случайная физическая величина принимает непрерывный
ряд значений x, то вероятность dP того, что x находится в бесконечно малом промежутке
между и + dx, равна>
. Функция W(x) называется плотностью
вероятности.
Очевидно,>
.
Предположим, что случайная величина принимает ряд значений x1, x2,…, xN, с вероятностями P1, P2,…, РN. Тогда ее среднее значение определяется соотношением
. (3.12)
Если x меняется непрерывно и плотность вероятности есть W(x), то среднее значение
. (3.13)
Аналогично можно определить средние значения и других величин: среднего квадратичного случайной величины
; (3.14)
среднего значения произвольной функции случайной величины
(3.15)
и т. д.
Зная, что плотность
вещества по определению>
, формулу
можно записать в виде:
. (3.16).
Здесь dNV — число частиц, заключенных в элементе объема dV и имеющих заданное значение потенциальной энергии U(r). Полное частиц газе можно найти, суммируя по всему объему, занятому газом:
. (3.17)
Таким образом, в газе, находящемся во внешнем поле, характеризуемом потенциальной энергией U(r), устанавливается неравномерное распределение частиц пространстве. Число максимально состоянии с минимальной и убывает вдали от этой точки. Эта неравномерность обусловлена случайным блужданием координатном пространстве, которое является следствием теплового движения газе при конечной температуре.
