Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Изменение внутренней энергии. Первое начала термодинамики

Внутренняя энергия системы может изменяться за счет энергии, сообщаемой системе извне. Эта энергия может сообщаться системе посредством двух процессов: либо за счет работы, производимой внешними силами над системой, либо за счет передачи ей тепла. Рассмотрим газ, сжимаемый в сосуде поршнем под действием силы F (рис.). Пусть под действием этой силы поршень переместился на расстояние dh, сжав газ. Работа силы на пути dh ‑ dA = Fdh.

Разделив величину силы на площадь поршня, получим давление P, а умножив S, изменение объема газа dV . Таким образом, производимая над газом работа

dA= PdV. (3.30)

Такую же по величине работу совершает газ при расширении, перемещая поршень. При этом dV положительно, если газ расширяется, и отрицательно при сжатии газа. Соответственно работа dA положительна или отрицательна: в первом случае система производит работу сама, во втором — внешние силы производят работу над системой.

Графически процесс изменения состояния газа при его расширении или сжатии изображается на кривой P, V участком 1-2 рис. Полная работа, совершаемая газом, от V1 до V2:

. (3.31)

Эта работа численно равна заштрихованной площади, заключенной под кривой P(V).

Рассмотрим способы передачи телу тепла. При соприкосновении тел либо при взаимодействии через излучение, изменение внутренней энергии происходит за счет хаотически движущихся частиц одного тела частицам другого.

Энергия, передаваемая от одного тела другому, представляет собой теплоту. Обозначим ее через Q. Теплота измеряется в тех же единицах, что и энергия.

Связь между переданным теплом, изменением внутренней энергии системы и произведенной работой выражается уравнением

dQ = dE + dA = dE PdV. (3.32)

Это уравнение представляет собой закон сохранения энергии применительно к механической и тепловой макроскопических тел. Он получил название первого начала термодинамики.

Важно учесть, что в выражении (3.32) работа и количество тепла не есть полные дифференциалы каких-либо величин, то время как внутренняя энергия является таковой. Можно говорить о внутренней энергии данном состоянии, а количестве или работы, которыми обладает тело. Нельзя делить энергию тела на тепловую механическую, речь идет лишь об изменении за счет количества тепла, переданного ему отданного им, совершенной работы. Это разделение неоднозначно зависит от начального конечного состояний характера совершаемого процесса. Поэтому, например, процессе перехода из состояния 1 состояние 2 изменение может быть равно нулю, тело при этом приобрести потерять энергию.

Теплоемкость идеального газа

Количество тепла, при получении которого температура тела повышается на один градус, называется теплоемкостью. Согласно этому определению

. (3.33)

Теплоемкость различается в зависимости от того, при каких условиях происходит нагревание тела — постоянном объеме или давлении.

Если нагревание тела происходит при постоянном объеме, т. е. dV = 0, то работа равна нулю. В этом случае передаваемое телу тепло идет только на изменение его внутренней энергии, dQ = dE, и в теплоемкость изменению энергии изменении температуры 1 К,

. (3.34)

Поскольку для газа>, то . (3.35)

Эта формула определяет теплоемкость 1 моля идеального газа, называемую молярной. При нагревании газа при постоянном давлении его объем меняется, сообщенное телу тепло идет не только на увеличение внутренней энергии, но и совершение работы, т.е. dQ = dE + PdV. Теплоемкость>.

Для идеального газа PV = RT и поэтому PdV = RdT.

Учитывая это, найдем

. (3.36)

Отношение> представляет собой величину, характерную для каждого газа и определяемую числом степеней свободы молекул газа. Измерение теплоемкости тела есть, таким образом, способ непосредственного измерения микроскопических характеристик составляющих его молекул.

Формулы для теплоемкости идеального газа приблизительно верно описывают эксперимент, причем, в основном, для одноатомных газов. Согласно формулам, полученным выше, теплоемкость не должна зависеть от температуры. На самом деле наблюдается картина, изображенная на рис., полученная опытным путем для двухатомного газа водорода. На участке 1 газ ведет себя как система частиц, обладающих лишь поступательными степенями свободы, на участке 2 возбуждается движение, связанное с вращательными степенями свободы и, наконец, на участке 3 появляются две колебательные степени свободы. Ступеньки на кривой хорошо согласуются с формулой (3.35), однако между ними теплоемкость растет с температурой, что соответствует как бы нецелому переменному числу степеней свободы. Такое поведение теплоемкости указывает на недостаточность используемого нами представления об идеальном газе для описания реальных свойств вещества.

3.2.4. Равновесные процессы в идеальном газе

Если макроскопические параметры системы имеют одинаковые значения во всем объеме, занимаемом системой, и не изменяются с течением времени, то состояние является равновесным. Последовательный переход из одного равновесного состояния в другое, совершаемый достаточно медленно, так, что любой заданный момент времени систему можно характеризовать определенными равновесными значениями термодинамических параметров: давления, температуры или объема, называется равновесным процессом.

Равновесный процесс представляет собой приближенную модель реального термодинамического процесса. Рассмотрим, например, сжатие газа поршнем в закрытом сосуде. Если поршень вдвигать достаточно быстро, то давление поршня на газ не будет успевать распространяться по всему объему, занятому газом. Давление каждый момент времени больше, чем стенки сосуда. Состояние этом случае нельзя характеризовать определенной величиной давления, оно существенно неравновесным. Со временем перераспределится объему и состояние станет равновесным с новым значением давления. Время установления нового состояния равновесия определяется его плотностью температурой. Процесс системе носит название релаксационного процесса, а время — релаксации.

В случае, когда газ под действием поршня сжимается достаточно медленно, давление успевает равномерно распределиться по всему объему, и в газе любой заданный момент времени устанавливается равновесие. Таким образом, при медленном движении проходит последовательно через ряд равновесных состояний, процесс термодинамически равновесный. Для того чтобы был равновесным, очевидно, необходимо, время релаксации системе было меньше времени, течение которого система подвергается внешнему возмущению.

Рассмотрим ряд равновесных процессов в идеальном газе, имеющих важное значение термодинамике. При процессах термодинамические параметры P, V и T каждый момент времени связаны между собой уравнением состояния (3.8).

1) Изотермический процесс.

При изотермическом процессе температура газа остается постоянной в течение всего процесса. Уравнение состояния этом случае имеет вид:

. (3.37)

При заданной температуре состояние газа изображается точкой на плоскости, где по осям отложены давление и объем. Последовательность таких точек образует кривую, представляющую изотермический процесс. В случае изотермического процесса кривая является гиперболой называется изотермой. Разным температурам соответствуют различные изотермы.

Вычислим работу, производимую газом при изотермическом процессе. Поскольку температура газа остается постоянной dT = 0, термодинамическом процессе не изменяется внутренняя энергия газа, dE=0, т.е. все подводимое в систему тепло расходуется только на совершение механической работы dQ = PdV. Таким образом,

. (3.38)

При изотермическом сжатии газа механическая работа, совершаемая над системой, переходит в тепловую энергию окружающих тел.

2) Изобарический процесс.

Этот термодинамический процесс происходит при постоянном давлении. Ему соответствуют на диаграмме P,V горизонтальные прямые — изобары, определяемые уравнением состояния:

. (3.39)

Работа при изобарическом процессе пропорциональна разности объемов газа в начальном и конечном состояниях:

. (3.40)

3) Изохорический процесс.

Зависимость давления от температуры при постоянном объеме представляет собой в координатах P, V вертикальную прямую, называемую изохорой. Поскольку этом процессе dV = 0, работа равна нулю.

4) Адиабатический процесс происходит в системе без теплообмена с окружающей средой, т. е. dQ = 0. Из первого начала термодинамики (2.32) следует, что при таком процессе dE = ‑ Pd V , изменение внутренней энергии системы только за счет совершения работы. Выразим через теплоемкость постоянном объеме согласно формуле (2.34): .Тогда

v·CV·dT = ‑ PdV. (3.41)

Отсюда следует, что при адиабатическом расширении газа dV > 0, dT < 0, и газ охлаждается. При сжатии газа, наоборот, происходит его нагревание соответственно увеличение внутренней энергии.

Разделив выражение (2.41) соответственно на правую и левую части уравнения состояния v·R·T = P·V , интегрируя это соотношение, получим

Наконец, воспользовавшись связью между CP и CV (2.36) в виде R = CP ‑ вводя определенную ранее характерную для газа величину>, получим окончательное соотношение между давлением и объемом идеального газа при адиабатическом процессе

. (3.42)

Полученное уравнение называется уравнением адиабаты. На плоскости P, V она изображается кривой, которая спадает более круто, чем изотерма (γ > 1).

Работа при адиабатическом процессе пропорциональна изменению температур газа в начальном и конечном состояниях:

. (3.43)

Все указанные процессы можно рассматривать как частные случаи общего более сложного процесса, при котором давление и объем связаны уравнением

. (3.44)

При n = 0 уравнение описывает изобару, при — изотерму, —адиабату та. изохору. Реальный неидеализированный процесс соответствует промежуточным значениям показателя степени в уравнении (3.44).