Общая схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
Точки разрыва. (Если они имеются).
Интервалы возрастания и убывания.
Точки максимума и минимума.
Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
Области выпуклости и вогнутости.
Точки перегиба.(Если они имеются).
Асимптоты.(Если они имеются).
Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки.
Найдем производную функции
Критические точки: x = 0; x = -
; x = ; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
.
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
-¥ < x < -, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
- < x < -1, y¢¢
< 0, кривая выпуклая
-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая
0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
1 < x < , y¢¢
> 0, кривая вогнутая
< x < ¥,
y¢¢ > 0, кривая вогнутая
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
-¥ < x < -, y¢ > 0, функция возрастает
- < x < -1, y¢
< 0, функция убывает
-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает
0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает
1 < x < , y¢ <
0, функция убывает
< x < ¥,
y¢¢ > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения
функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
Построим график функции:
Ниже рассмотрим несколько примеров исследования методами дифференциального исчисления различных типов функций.
Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию 
и построить ее график.
1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;
с осью Ох: y = 0; x = 1;
4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;
Итого: у = -х — наклонная асимптота.
5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.
. Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения
и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю,
однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в
точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба,
находим вторую производную функции.
y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥
при х = 1.
Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.
6. Построим график функции.
Пример: Исследовать функцию 
и построить ее график.
1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x = 
с осью Оу: x = 0; y — не существует.
4. Точка х = 0 является точкой разрыва 
, следовательно, прямая х = 0 является вертикальной
асимптотой.
Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.
Наклонная асимптота у = х.
5. Находим точки экстремума функции.
; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥
при х = 0.
y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) — функция возрастает,
y¢ < 0 при х Î (0, 2) — функция убывает,
у¢ > 0 при х Î (2, ¥) — функция возрастает.
Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.
Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.
> 0 при любом х ¹
0, следовательно, функция вогнутая на всей области определения.
6. Построим график функции.
Пример: Исследовать функцию 
и построить ее график.
Областью определения данной функции является промежуток х Î (-¥, ¥).
В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.
Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;
с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.
Асимптоты кривой.
Вертикальных асимптот нет.
Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.
- наклонных асимптот не
существует.
Находим точки экстремума.
Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х3 — 9х2 +6х –1 = 0.
Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.
Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число
х = 1. Тогда:
Тогда можно записать (х — 1)(4х2 — 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.
Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:
Найдем вторую производную функции: 12x2 — 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:
x = 1, x = ½.
Систематизируем полученную информацию в таблице:
|
(-¥ ; ¼) |
1/4 |
(¼; ½) |
1/2 |
( ½ ; 1 ) |
1 |
(1 ; ¥) |
|
|
f¢¢(x) |
+ |
+ |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f¢(x) |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
0 |
+ |
|
f(x) |
убывает вып. вниз |
min |
возрастает вып. вниз |
перегиб |
возрастает вып. вверх |
перегиб |
возрастает вып. вниз |
Построим график функции.
