Предел фу нкции. Предел функции в точке.
y f(x) Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что
0 <
ïx - aï < D
и построить ее график.
верно неравенство ïf(x) - Aï< e.
То же определение может быть записано в другом виде:
Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Запись
предела функции в точке: 
Определение. Если f(x) ® A1 при х ®
а только при x < a, то 
- называется
пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A2 при х ®
а только при x > a, то 
называется
пределом функции f(x) в точке х = а справа.
Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.
Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А — конечный предел функции f(x).
2.2. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство
При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.
Записывают:
Графически можно представить:
 |
Аналогично можно определить пределы 
для любого х>M и
для любого х<M.
2.3. Основные теоремы о пределах.
Теорема 1.
, где С = const.
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.
Теорема 2. 
Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.
Теорема 3. 
Следствие. 
Теорема 4. 
при 
Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а
и , то А>0.
Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.
Теорема 6.
Если g(x) £ f(x) £ u(x)
вблизи точки х = а и 
, то и 
.
Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.
Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.
Доказательство. Пусть , т.е. 
, тогда
или
, т.е.
где
М = e + ïАï
Теорема доказана.
