Приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур.
 |
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.
Для нахождения суммарной площади используется формула
.
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:
(ед2)
18.2. Нахождение площади криволинейного сектора.
 |
Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид r = f(j), где r - длина радиус — вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус — вектора к полярной оси.
Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле
18.3. Вычисление длины дуги кривой.
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге,
может быть найдена как 
.
Тогда
длина дуги равна 
.
Из геометрических соображений: 
В то же время 
Тогда можно показать, что
Т.е.
Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной, получаем
,
где х = j(t) и у = y(t).
Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то
Если кривая задана в полярных координатах, то
,
r = f(j).
Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.
1 способ.
Выразим из уравнения переменную у. 
Найдем производную 
Тогда 
Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.
2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной
системе координат, то получим: r2cos2j
+ r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j)
= r, 
тогда
18.4. Вычисление объемов тел.
Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.
Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi.
Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны MiDxi и miDxi здесь Dxi = xi - xi-1.
Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим
цилиндры, объемы которых равны соответственно 
и 
.
При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:
Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:
Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.
Пример: Найти объем шара радиуса R.
y
В поперечных сечениях шара получаются окружности
переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается
по формуле 
.
Тогда функция
площадей сечений имеет вид: Q(x) = 
.
Получаем объем шара:
.
Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.
 |
При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х — расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.
Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.
Отсюда
получаем функцию площадей сечений: 
Находим объем пирамиды: 
18.5. Объем тел вращения.
Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.
Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет
собой круг радиуса 
, то объем
тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:
18.6. Площадь поверхности тела вращения.
Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.
Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна DPi. Эта площадь может быть найдена по формуле:
Здесь DSi — длина каждой хорды.
Применяем
теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа) к отношению 
.
Получаем: 
Тогда 
Площадь поверхности, описанной ломаной равна:
Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что
Тогда
- формула для вычисления площади
поверхности тела вращения.
