Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения
Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F¢(x) = f(x), x Î (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) dx.
Определение. Функция F(х) называется обобщенной первообразной для f(x) на (a, b), если F(х) непрерывна на (a, b) и для любого x Î (a, b)\ Кn, где Кn — множество, состоящее не более чем из n точек, имеем F¢(x) = f(x). Если нет необходимости подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной или обобщенной первообразной, то называем F(х) первообразной.
Пример
1. Функция ln(x + 
) есть первообразная для функции 1 /
на всей числовой прямой, т.к. (ln (x + ))¢ = 1 /. Функция |х| есть обобщенная первообразная для функции
sign x на (–1, 1), так как |х | Î
С(–1, 1) и |х |¢ = sign x, х ¹ 0.
Соотношение F¢(x) = f(x) определяет F(х) неоднозначно.
Пример 2. а) (cos 2x)¢ = –2sin 2x,
(–2sin2x) ¢ = –4sin x cos x = –2sin 2x;
б) 
,
.
Основным свойством первообразной является следующее: если F(х) и G(x) — первообразные для одной и той же функции f(x) на одном и том же промежутке, то F(х) - G(x) = const.
Определение. Множество всех первообразных
для данной функции f(x) на промежутке называется неопределенным интегралом этой
функции и обозначается 
(промежуток
(a, b) — обычно это промежуток непрерывности f(x) и поэтому не указывается).
Следовательно, если F(х) есть первообразная для f(x) на (a, b), то 
.
Пример 3. Найдем точную первообразную для функции f(x) = е|x| на всей числовой прямой.
Решение. При х ³
0 имеем е|x|= ех, и для этой функции в области G = {x; x Î R, x > 0} одна из первообразных будет
ех. При х < 0 имеем е|x|= е–х, для этой функции в области х < 0 первообразной
будет функция (–ех + k) при любой постоянной k. Так как первообразная функция
е|x| по определению должна быть функцией непрерывной, то должно выполняться условие
, т.е. 1 = –1 + k, откуда k = 2.
Итак, функция
является непрерывной на всей числовой оси. Для х > 0 имеем F¢(x) = е–х = е|x|. Докажем, что эта функция будет точной первообразной для функции е|x| на всей числовой прямой. Для этого осталось проверить, что F¢(0) = е0 = 1.
Имеем
т.е.
F¢+(0) = F¢–(0) = F¢(0) = 1 = е| 0|.
Следовательно, можно записать
Доказывается, что любая непрерывная на [a, b] функция имеет на (a, b) точную первообразную,
но в отличии от производной первообразная элементарной функции не всегда представляется
элементарной функцией, например, первообразные для функций 
Основные свойства неопределенного интеграла
Таблица простейших интегралов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нахождение первообразной или вычисление неопределенного интеграла в основном состоит в преобразовании подинтегрального выражения так, чтобы получить интегралы из этой таблицы («табличные интегралы»).
