Замена переменного
Пусть функция f(x) непрерывна, функции х(t) и t(x)взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для функции f(x) имеет вид F(x) = Ф(t(x)), где Ф(t) есть первообразная для функции f(x (t)) x(t). Коротко это утверждение записывается так:
.
Функция х(t) подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор ее определяется конкретно видом подынтегрального выражения. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся замены:
А. Вычисление
интегралов 
n, m — целые
I. Если оба показателя n и m — неотрицательные четные числа, то применяются формулы понижения степени:
.
II. Если n и m — натуральные числа такие, что хотя бы одно из них нечетное, то в случае нечетного m полагаются sin x = t, а в случае нечетного n полагаются cos x = t и применяют либо формулу 1 — сos2 x = sin2 x = cos2 x/
III. Если n и m — целые неотрицательные числа такие, что оба числа |m| и |n| либо четные, либо нечетные, то полагают tg x = t и применяют формулы:
.
К этому типу сводятся интеграл вида
.
В самом деле,
.
IV. Если n и m — целые отрицательные числа, причем одно из числе |n| и |m| нечетное, то в случае нечетного |m| полагают sin x = t, а в случае нечетного |n| полагают сos x = t. Иногда в случае больших степеней |n| и |m| полезно в числителе подынтегральной функции неоднократно заменить единицу суммой sin2x + cos2x.
V. Если n — четное число, а m — целое отрицательное число, то можно заменить sin2x по формуле sin2x = 1 — сos2 х, и в этом случае интегралы сводятся к интегралам вида
a Î
N.
В случае четного m и целого n заменяют cos2 x на 1 — sin2 х. В некоторых специальных случаях полагают tg x = t.
VI. Если n нечетное и m — целое отрицательное число, то полагают cos x = t и применяют формулу sin2x = 1 — cos2x. В случае, когда m нечетное, а n — целое отрицательное число, полагают sin x = t и применяют формулу cos2x = 1– sin2x.
При вычислении рассматриваемых интегралов часто используются следующие формулы:
,
,
.
Пример 1.
.
Пример 2.
.
Пример 3.
.
Пример 4.
.
Пример 5.
.
Пример 6.
.
Пример 7.
.
В. Интегрирование выражений, содержащих радикалы 
;
;
а ¹ 0.
I. Если подынтегральная
функция содержит радикал 
, а > 0, то можно положить = = а
sin t.
Так как выражение 
имеет смыл только при |x| £ a, то и первообразная ищется на промежутке
–а < x < a, следовательно, можно считать, что 
тогда 
= а cos t.
II. Если подынтегральная функция содержит
радикал 
, а > 0, то можно положить 
.
В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче х < –а. Так
как нет никаких оснований предпочесть один луч другому, то можно выбрать тот луч,
на котором будет более простая запись преобразованного подынтегрального выражения,
т.е. луч х > а, тогда берем 
и = a tg t.
В этом же случае можно сделать замену
х = а ch t, тогда 
.
III.
Если подынтегральная функция содержит радикал 
, а > 0, то можно положить х = а
tg t. Функция х = а tg t непрерывно дифференцируема на интеграле (
),
при этом промежутком изменения х является числовая прямая, поэтому
.
Пример 8. Вычислим
Решение. Положим х = а tg t, тогда 
и 
.
Так как 
, то
.
Пример 9. Вычислим
Решение. Положим х = a sin t, тогда
.
Так как
, 
, 
где |x| ¹ a
то 
.
Пример 10. Вычислим
Решение. Положим х = a sh t, тогда
.
Так как 
,
то 
и 
.
С. Вычисление интегралов вида
.
где R- рациональная функция.
Полагая е = z, имеем R (ex, e2x, …, enx) = R
(z, z2, …, zn) и 
.
Пример 11. Вычислим
.
Решение. Полагая ex = z, имеем R (ex, e2x, …, enx) = R (z, z2, …, zn) и
.
D. Интегрирование биноминальных дифференциалов.
Так называются дифференциалы вида хm(a + bxn)p dx, где а, b — постоянные, отличные от нуля, m, n, p — рациональные числа.
Первообразная для функции хm(a + bxn)p является элементарной функцией
в следующих трех случаях: а) р — целое, б) 
- целое, в) 
- целое;
а) если р — целое, то полагают x = z где N — общий знаменатель дробей m и n.
Пример 12. Вычислим
.
Решение.
Положим x = z6, поскольку р = –2 — целое. Тогда 
,
,
dx = 6z5dz.
.
Следовательно,
.
б) если – целое, тогда полагают а + bxn = zN , где N — знаменатель
дроби р.
Пример 13. Вычислим
.
Решение. Положим 1 + х2/3 = z2, поскольку 
– целое. Тогда х = (z2 — 1)3/2, 
.
Следовательно,
,
.
в) если – целое, тогда полагают ах–n + b = z, где N — знаменатель
дроби р.
Пример 14. Вычислим
.
Решение. Положим z4 = 1 + x–4, поскольку 
- целое. Тогда х = (z4 — 1)-1/4, dx
= –z3(z4 — 1)–5/4 dz, 
.
Следовательно,
.
Если подынтегральная функция содержит трансцендентальную функцию сложного аргумента j(x), то полезно для упрощения подынтегрального выражения сделать замену j(x) = t.
Пример 15. Вычислим 
.
Решение. Положим 
, тогда 
и 
.
Интегрируя по частям, имеем
.
Следовательно,
.
Пример 16. Вычислим
.
Решение.
Положим 
, тогда х + 1= –t3, dx = –3t2dt.
Следовательно,
.
