Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Типовой расчет по высшей математике

Признаки сравнения несобственных интегралов по бесконечному промежутку

Вопрос о сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку эквивалентен вопросу о существовании предельного значения функции при . Для существования предельного значения функции при необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Коши: для любого можно указать такое А>0, что для любых и , удовлетворяющих соотношению выполняется неравенство:

(3) .

В этом утверждении (критерий Коши) важно то, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку не требует ограниченности подынтегральной функции при (она может быть даже и не определена при ). Критерий Коши мало пригоден для практического применения (используется в ряде случаев для установления расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку).

Общий признак сравнения. Пусть на полупрямой имеются две неотрицательные функции и , удовлетворяющие неравенству: . Тогда и из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Работая с общим признаком сравнения, надо иметь ввиду четыре разные ситуации при сопоставлении исследуемого на сходимость (или расходимость) интеграла и известных (в смысле сходимости) интегралов и . Представим все возможные ситуации при сопоставлении интегралов:

(4.1)

(4.2) сходится;

(4.3) расходится;

(4.4)

Из перечня возможных ситуаций при сопоставлении интегралов следует, что сходится «меньший» от сходящегося интеграла (формула (4.2)) и расходится «больший» от расходящегося интеграла (формула (4.3)); в остальных случаях сопоставления (формулы (4.1) и (4.4)) никакого заключения о поведении исследуемого интеграла сделать нельзя.

Пример 5. Исследовать сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку с помощью общего признака сравнения:

а). ; б). .

Решения. а). В данном интеграле подынтегральная функция непрерывна на всем промежутке интегрирования; в элементарных функциях исследуемый интеграл «не берется», поэтому сопоставим подынтегральную функцию с другой функцией на всем промежутке интегрирования исходного интеграла, то есть при ; так как в данных условиях , то имеем следующее сопоставление интегралов: . Исследуемый интеграл является «меньшим» по отношению к сходящемуся интегралу, а потому согласию общему признаку сравнения он сходится.

б). Подынтегральная функция непрерывна и удовлетворяет соотношению при , поэтому имеем следущее сопоставление интегралов: ; стало быть, «меньший» интеграл расходится, а поэтому «больший» интеграл и подавно будет расходиться согласно общему признаку сравнения (формула (4.3)). Итак, исследуемый интеграл расходящийся.

Упражнение 5. Исследовать сходимость интегралов:

а). ; б). .

В ряде случаев в качестве опорного, реперного, известного интеграла (в смысле сходимости или расходимости) при сопоставлении интегралов по бесконечному промежутку удобно использовать так называемый частный признак сравнения, то есть интеграл:

(5) ,

который сходится при и расходится при . Частный признак сравнения несобственных интегралов первого рода есть интеграл с параметром , величина которого обуславливает поведение интеграла в смысле сходимости или расходимости. Так, по определению (1а) имеем: . При предел конечный и интеграл сходится; при предел бесконечный и интеграл расходится.

Пример 6. Исследовать интегралы на сходимость, используя частный признак сравнения:

а). ; б). .

Решения. а). Подынтегральная функция на всем промежутке интегрирования непрерывна и меньше функции . Имеем следующее сопоставление интегралов исследуемого и опорного в виде частного и общего признаков сравнения: . Так как опорный интеграл сходится (формула (5)), то сходится и исследуемый интеграл (формула (4.2)).

б). Так как подынтегральная функция исследуемого интеграла во всем промежутке интегрирования непрерывна и больше функции , то имеем сопоставление интегралов в виде частного и общего признаков сравнения: . Интеграл в правой части неравенства расходится (формула (5)); стало быть, исследуемый интеграл тоже расходится (формула (4.3)).

Упражнение 6. Исследовать интегралы на сходимость:

а). ; б). .

В ряде случаев удобно пользоваться при сопоставлении интегралов так называемым предельным признаком сравнения, который состоит в том, что рассматривается предел отношения положительных подынтегральных функций сопоставляемых интегралов: опорного и исследуемого при . Если этот предел существует и конечен, то есть:

(6) , ,

то оба интеграла ведут себя одинаково: оба сходятся или оба расходятся. В частности, если функции и эквивалентны при , то эти функции одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемые на промежутке .

Пример 7. Исследовать интегралы на сходимость:

а). ; б). .

Решения. а). В качестве опорного интеграла возьмем сходящийся интеграл: . Тогда ; стало быть, исходный интеграл сходится.

б). В качестве опорного интеграла возьмем расходящийся интеграл: . Тогда ; стало быть, исследуемый интеграл расходится.

Основная трудность при определении сходимости или расходимости исследуемого интеграла типа с помощью признаков сравнения состоит в выборе опорного интеграла. В ряде случаев можно реализовать следующую методику. 1). Исследуем подынтегральную функцию исходного интеграла; если особенностей у исходного интеграла больше, чем одна, то разбиваем промежуток интегрирования так, чтобы на каждом участке интегрирования было по одной особенности. 2). Пытаемся упростить выражение подынтегральной функции с помощью эквивалентных преобразований при стремлении переменной к особой точке; полученное выражение можно принять за функцию и исследовать интеграл . 3). Зная поведение интеграла , реализуем общий или предельный признаки сравнения.

Пример 7а. Исследовать интегралы на сходимость или расходимость:

1). ; 2). .

Решения. 1). Пусть ; при имеем: ; за функцию можно принять ; тогда имеем реализацию предельного признака сравнения в виде: ; так как расходится, то расходится и исследуемый интеграл.

2). Подынтегральная функция непрерывна при , так как ; в качестве функции можно взять ; тогда предельный признак сравнения дает конечное значение, то есть: , а поскольку интеграл сходится, то сходится и исследуемый интеграл.

Упражнение 7. Исследовать интегралы на сходимость:

а).; б).; в).; г)..

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

Если интеграл сходится, а интеграл расходится, то первый интеграл называется условно сходящимся.

Пример 8. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

Решение. В начале исследуется данный интеграл вообще на сходимость, для чего проведем интегрированние по частям: пусть тогда , далее . Так как последний интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится и интеграл , причем абсолютно. Исходный интеграл при этом является сходящимся (кстати, сходимость этого можно определить быстрее с помощью признака сходимости Дирихле, который будет рассмотрен позже). Чтобы исследовать исходный интеграл на абсолютную сходимость, надо рассмотреть интеграл: . Так как при , то имеем: . Интеграл аналогично исходному интегралу сходится, а интеграл расходится; стало быть, и интеграл является расходящимся. При этом исходный интеграл является условно сходящимся.

Упражнение 8. Установить условную сходимость интеграла: .

Пример 9. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

Решение:

; стало быть, интеграл сходится абсолютно.

Упражнение 9. Установить абсолютную сходимость интеграла: .

Установить условную сходимость при отсутствии абсолютной сходимости в ряде случаев позволяет так называемый признак сходимости Дирихле, в котором исследуется структура подынтегральной функции, если ее можно представить в виде произведения двух функций, а именно: , где интегрируема и ограничена, то есть:

(7) ;

а функция при непрерывно дифференцируема и монотонна, причем:

(8) .

При выполнении условий, налагаемых на функции и интеграл

(9)

сходится.

С помощью этого признака условную сходимость интеграла в примере 8 при отсутсвии абсолютной сходимости можно определить следующим образом:

Имеем интеграл , который не является абсолютно сходящимся.

Представим подынтегральную функцию этого интеграла в виде произведения двух функций, то есть: , где , а . Функция интегрируема и ограничена на бесконечном промежутке, так как: , а . Поскольку все условия признака Дирихле (Формулы (7) и (8)) выполнены, то исследуемый интеграл сходится условно, ибо абсолютная сходимость этого интеграла места не имеет, что было показано в примере 8.

Пример 10. Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл:

Решение. Сначала сделаем в исследуемом интеграле замену переменной:

пусть , тогда ; если ; если ; итак, имеем: где является функцией интегрируемой и ограниченной на бесконечном промежутке (формула (7)), а (выполняется формула (8)). Поскольку все условия признака Дирихле (формулы (7) и (8)) выполнены, то исследуемый интеграл сходится. Исследуем интеграл на абсолютную сходимость, для чего рассмотрим интеграл . Т.к. при , то . Интеграл сходится по признаку Дирихле, а интеграл расходящийся; стало быть, интеграл тоже расходящийся, при этом исследуемый интеграл сходится условно.

Упражнение 10. Установить условную сходимость интегралов Фронеля:

; .

Интеграл типа (9) можно исследовать на условную сходимость ещё и с помощью так называемого признака сходимости Абеля, в котором так же исследуется структура подынтегральной функции, если её можно представить в виде произведения двух функций и , на которые теперь наклкдываются следующие ограничения: интеграл от функции по бесконечному промежутку, то есть:

(10)

сходится, а функция при непрерывно дифференциируема, монотонна и непрерывна, а потому имеет конечный предел, то есть:

(11) , .

При выполнении указанных условий ((10) и (11)) интеграл типа (9) сходится.

Пример 11. Установить сходимость интеграла: , используя признак Абеля.

Решение. Исследуемый интеграл представим следующим образом: , где , а . Так как интеграл от функции по бесконечному промежутку сходится (см. пример (8)), а , то все условия признака Абеля выполнены; стало быть, исследуемый интеграл сходящийся. Характер сходимости исходного итеграла (сходится условно или абсолютно) определится после исследования данного интеграла на абсолютную сходимость, для чего надо исследовать интеграл: . Так как , то .

Интеграл сходится по признаку Дирихле, так как , а . Интеграл расходится, что можно установить по предельному признаку сравнения: при ; тогда в кочестве сопоставляемой функции имеем , а , что означает расходимость интеграла . Стало быть, интеграл тоже расходящийся. Теперь ясен и характер сходимости исходного интеграла : он сходится условно.

Упражнение 11. Исследовать характер сходимости интеграла: .