Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций
Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций
аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку
(формулы (4) и (6)). Пусть функции 
и 
, неотрицательные на промежутке 
и интегрируемы на каждом отрезке 
,
. Тогда, если функции и удовлетворяют на промежутке неравенству: 
, то имеем: 
и из сходимости интеграла 
следует сходимость интеграла 
,
а из расходимости интеграласледует расходимость интеграла . Возможные ситуации сопоставлений интегралов
исследуемого и известного такие же, как это представлено в соотношениях 
.
Далее, если существует, отличный от нуля, конечный предел:
(12) 
,
то интегралы и ведут себя одинаково: то есть сходятся или расходятся
одновременно. В частности, если функции и эквивалентны при 
, то эти функции одновременно либо интегрируемы, либо
неинтегрируемы на промежутке .
В качестве частного признака сравнения несобственных
интегралов от разрывных функций используется интеграл с параметром 
:
(13) 
,
который сходится при 
и расходится при 
. В самом деле, 
, откуда следует, что дробь, стоящая в правой части равенства
терпит бесконечный разрыв при 
и 
; если же , то дробь разрыва не имеет и интеграл (13) сходящийся.
В более общей форме частный признак сравнения несобственных интегралов от разрывных
функций можно представить так:
(13 а,б) 
или 
,
где, как и раньше, интегралы сходятся при и расходятся при .
Пример 12. Исследовать несобственные интегралы от разрывных функций на сходимость:
а). 
;
б). 
; в). 
; г). 
.
Решения. а). Так как на промежутке
имеет место неравенство: 
, то имеем сопоставление интегралов в виде частного
и общего признаков сравнения: 
.
Поскольку интеграл в правой части неравенства сходится (формула(13)),то исследуемый интеграл тоже сходится согласно общему признаку сравнения несобственных интегралов.
б). Пусть 
, а 
; тогда имеем сопоставление интегралов: опорного (формула(13а))
и исследуемого в виде предельного признака сравнения
(формула (12)): 
; так как опорный интеграл расходится, то расходится и
исследуемый интеграл.
в). Используем методику поиска опорного интеграла, описанную для несобственных интегралов первого рода:
1).
,
что означает, что подынтегральная функция 
имеет одну особенность в точке 
, где она терпит бесконечный разрыв (при вычислении
предела использовалась эквивалентность функций при 
, а именно: 
).
2). в качестве сопоставляемой
функции используем 
, которая эквивалентна функции 
при 
; то есть: 
, а поскольку интеграл 
сходящийся (формула(13)), то и исследуемый
интеграл тоже сходящийся.
г). Подынтегральная функция 
терпит бесконечный разрыв в точке , так как 
. Исследуя разложение функции 
в точке , будем иметь: 
; в качестве функции 
возьмём 
; тогда предельный признак сравнения даёт: 
, а поскольку 
расходится, то расходится и исследуемый
интеграл.
Упражнения 12. Исследовать интегралы на сходимость:
а)
; б)
; в)
; г)
.
Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций
Как и в случае несобственных интегралов
по бесконечному промежутку, критерий Коши (формула (3)) для несобственных интегралов
от разрывных функций в практических целях мало пригоден (используется иногда для
установления расходимости). Тем не менее, определим этот критерий для несобственных
интегралов второго рода. Итак, пусть функция f(x) определена на промежутке [a,
b), интегрируема на любом отрезке [a, c], с<b, и неограниченна в левой окрестности
точки x=b. Тогда для сходимости интеграла 
необходимо и достаточно, чтобы для
любого числа 
существовало такое
число 
, чтобы при любых 
и 
, принадлежащих интервалу 
, выполнялось соотношение:
(14)
.
Абсолютная и условная сходимость для несобственных
интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано
для несобственных интегралов по бесконечному промежутку ( см. §5) , а именно:
несобственный интеграл от разрывной функций называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
, и условно сходящимся, если интеграл
сходится, а интеграл расходится.
Пример 13. Установить абсолютную
сходимость интеграла: 
Решение.
. Так как последний интеграл сходится, то искомый интеграл
J сходится по общему признаку сравнения, причём сходится абсолютно.
Упражнение
13. Установить абсолютную сходимость интеграла: 
.
Если абсолютная сходимость несобственного интеграла от разрывной функции места
не имеет, то исследовать исходный интеграл на условную сходимость как и в случае
с несобственными интегралами по бесконечному промежутку помогают достаточные признаки
сходимости Дирихле и Абеля (формулы (7)
(11)).
В случае несобственных интегралов второго рода упомянутые признаки сходимости
определяются так:
15. Признак Дирихле. Интеграл 
сходится, если: 1).функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную
на
; 2).функция непрерывно дифференцируема и монотонна на , причём
.
16. Признак Абеля. Интеграл сходится, если: 1).функция непрерывна на и интеграл сходится; 2).функция ограничена, непрерывно дифференцируема
и монотонна на , то есть имеет конечный предел:
.
Пример 14. Определить характер сходимости интеграла:
.
Решение. Сходимость интеграла устанавливаем с помощью признака Абеля:
пусть 
, тогда 
,
а 
, и сходимость интеграла: 
(это несобственный интеграл первого
рода от знакопеременной подынтегральной функции, который сходится по признаку
Дирихле (см. пример и упражнение №8)), при этом исходный интеграл J сходится по
признаку Абеля.
Характер сходимости исходного интеграла J можно установить, исследовав его на абсолютную сходимость, то есть изучив интеграл:
.
Так как 
, то 
расходится, 
,где 
; пусть 
, 
, 
; если x=0+, 
; если x =1, t = 2. 
Этот интеграл сходится по признаку Дирихле,
а интеграл 
расходится, так как расходится 
;
итак, исходный интеграл 
сходится
условно.
Упражнение 14. Определить характер сходимости интеграла: 
Пример 15. Исследовать сходимость интеграла: 
.
Решение. Исследуемый интеграл
имеет одну особенность в точке x=0. Пусть: 
,
, 
; если x = 0+, то ; если 
, 
.
Тогда: 
и интеграл исходный является расходящимся.
Упражнение
15. Исследовать интеграл на сходимость: 
.
