Интегралы
Задача 1. Вычислить 
.
Решение. Интеграл можно свести к табличному (1),
если сделать замену 
. Дифференцируя
обе части равенства, получим 
, т.е. 
. Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы
интегрирования: если 
, то 
; если 
, то 
.
Следовательно,
Задача
2. Вычислить 
.
Решение. Сведем данный интеграл к табличному
(3), сделав замену переменной 
.
Тогда 
Изменяем пределы интегрирования:
если 
, то 
;
если 
, то 
.
Получаем
Задача
3. Вычислить 
.
Решение. Интеграл относится к группе интегралов:
, 
, 
, где 
- многочлен степени п. Вычисление таких интегралов выполняется
интегрированием по частям по формуле (17)
Если за и принять многочлен , то в результате применения формулы (17) интеграл упростится
(уменьшится степень многочлена).
Обозначим 
Найдем 
Тогда 
Задача 4. Вычислить 
.
Решение. Этот интеграл относится к группе интегралов
вида 
, 
, 
,
(- многочлен степени п) и вычисляется
по формуле интегрирования по частям (17). В результате применения этой формулы
исходный интеграл упростится, если за и принимать функции 
. Итак, положим 
Тогда 
Получаем
Задача
5. Вычислить 
.
Решение. Выполним замену переменной:
Получим
В подынтегральном выражении выделим целую часть:
Тогда
В интеграле
сделаем замену:
,
при
этом 
Возвращаясь к переменной х, получим
Задача
6. Вычислить 
.
Решение. Это интеграл вида 
.
Одно из чисел m и n нечетное (в данном случае
), поэтому интеграл можно вычислить следующим
образом. Преобразуем подынтегральное выражение
,
следовательно, можно выполнить замену: 
.
В результате получим
Задача
7. Вычислить 
.
Решение. Это интеграл вида с чётными m и n (в данном случае 
). Воспользуемся формулой (19) понижения
степени
,
получим
Задача 8. Вычислить 
.
Решение. Применяя тригонометрическую формулу (23)
,
получим
Задача
9. Вычислить 
.
Решение. Выделим в числителе производную от знаменателя:
Первый
интеграл вычисляем, сделав замену 
, тогда 
. Имеем
Второй
интеграл преобразуем, выделив в знаменателе полный квадрат: 
.
Тогда с учетом формулы (14) получим
Итак, исходный интеграл равен
Задача
10. Вычислить 
.
Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения
Первый
интеграл вычисляется путем замены 
, тогда 
Имеем
Второй интеграл преобразуем путем выделения полного квадрата в подкоренном выражении:
Тогда с учетом формулы (16) получим
Следовательно, исходный интеграл равен
Задача
11. Вычислить 
.
Решение. При интегрировании иррациональных выражений
вида 
(здесь R — рациональная функция;
- целые числа) подстановка 
,
где к — наименьшее общее кратное знаменателей 
, позволяет избавиться от иррациональности. В данном случае
Наименьшее общее кратное этих
чисел равно 6. Применяем подстановку 
Тогда 
и
Возвращаясь
к переменной х с учетом того, что 
, получим
