Задача 12. Вычислить 
.
Решение. При вычислении интегралов вида 
, где R — рациональная функция, используется
универсальная тригонометрическая подстановка 
, приводящая к интегралам от рациональных относительно
t функций, при этом
, 
.
Из равенства находим 
.
В данном случае получаем
Сделаем замену 
Тогда 
Возвращаясь к переменной х, получим
Задача 13. Вычислить 
.
Решение. Интегралы вида 
, 
, 
, где R — рациональная функция, приводятся к интегралам
вида , если выполнить замену
переменной:
- для первого интеграла 
(или 
);
- для второго интеграла 
(или 
);
- для третьего интеграла 
(или 
).
Данный интеграл вычисляем заменой 
.
Тогда 
.
Получаем
.
,
тогда
Возвращаясь к старой переменной при 
, получаем
Задача 14. Вычислить 
Решение. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию — дробь
— в сумму простейших дробей. Множителю 
соответствует сумма двух простейших дробей 
, а множителю 
- дробь 
.
Тогда подынтегральная функция будет иметь вид
Правую часть равенства приведем к общему знаменателю (он должен быть равен знаменателю левой части равенства) и приравняем числители получившихся дробей:
.
Найдем А, В, С. Сначала применяем метод частных значений. Равенство должно
выполняться при любых х, поэтому подставим вместо х «хорошие» числовые значения
(обращающие часть скобок в 0). Здесь это 1 и -2. При 
получим 
и 
. При 
равенство принимает вид 
, а 
. В найдем методом неопределенных коэффициентов, согласно
которому приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой
частях равенства. Например, при 
. Тогда 
.
Итак, 
Вычисляем интеграл
Задача 15. Вычислить 
Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей. Множителю
будет соответствовать сумма
множителю 
- дробь 
. Тогда получим разложение
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю 
и приравняем числители получившихся
дробей:
Найдем А, В, С, D. Согласно методу частных значений
(см. задачу 14) полагаем 
, тогда равенство примет вид 
откуда . Далее применяем метод неопределенных коэффициентов,
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.
Так, для х получим равенство 
откуда 
; для имеем 
, откуда 
; для 
получим 
, откуда 
Итак, 
Вычисляем интеграл
Задача 16. Вычислить 
, если l задана уравнением 
Решение. Воспользуемся формулой (27) вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:
Получим
Согласно формуле (20)
Тогда
Задача 17. Найти массу дуги кривой 
, если плотность кривой 
Решение. Применяем формулу (28) вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:
Формула (25) позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:
Так как 
, получаем
Задача 18. Найти работу вектор-силы 
на криволинейном пути 
Решение. Работа А, совершаемая вектор-силой
на криволинейном пути L, есть криволинейный интеграл II рода (формула (32)), т. е.
Кривая задана параметрически, поэтому применяем формулу (31):
где 
Тогда
Задача 19. Вычислить 
, если D ограничена линиями 
Решение. На рисунке построена область D — криволинейный треугольник.
1 способ. Двойной интеграл можно вычислить по формуле (33):
Здесь 
поэтому
2 способ. Можно использовать формулу (34):
Тогда 
Значит, 
Задача 20. Вычислить 
,
где D — правая половина кольца (см. рисунок).
Решение. Будем вычислять интеграл в полярных координатах по формуле (35):
Здесь 
.
Так как 
(формулы перехода к полярным координатам), то 
Тогда уравнения окружностей 
и 
принимают вид 
Следовательно,
