Комплексные числа.
Понятие о комплексных числах.
Определение. Комплексным числом z называется выражение 
,
где a и b — действительные числа, i — мнимая единица, которая определяется
соотношением:
При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).
Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.
Определение. Числа и 
называются комплексно — сопряженными.
Определение. Два комплексных числа 
и 
называются равными, если соответственно равны их действительные
и мнимые части:
Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.
Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.
Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.
 |
Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY — чисто мнимые.
С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.
5.2. Тригонометрическая форма числа.
Из геометрических соображений видно, что 
. Тогда комплексное число можно представить
в виде:
Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона j - аргументом комплексного числа.
.
Из геометрических соображений видно:
Очевидно, что комплексно — сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.
5.3. Действия с комплексными числами.
Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.
1) Сложение и вычитание.
2) Умножение.
В тригонометрической форме:
, 
С случае комплексно — сопряженных чисел:
3) Деление.
В тригонометрической форме:
4) Возведение в степень.
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
В общем случае получим:
,
где n — целое положительное число.
Это выражение называется формулой Муавра.
(Абрахам де Муавр (1667 — 1754) — английский математик)
Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.
Пример. Найти формулы sin2j и cos2j.
Рассмотрим некоторое комплексное число 
Тогда с одной стороны 
.
По формуле Муавра: 
Приравнивая, получим 
Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то
Получили известные формулы двойного угла.
5) Извлечение корня из комплексного числа.
Возводя в степень, получим:
Отсюда: 
Таким образом, корень n — ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.
5.4. Показательная форма комплексного числа.
Рассмотрим показательную функцию 
Можно показать, что функция w может быть записана в виде:
Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее. (См. ).
Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:
1) 
2) 
3) 
где m — целое число.
Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:
Для комплексно — сопряженного числа получаем:
Из этих двух уравнений получаем:
Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.
Если представить комплексное число в тригонометрической форме:
и воспользуемся формулой Эйлера: 
Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.
