ПРИМЕР. Найти производную 
от функции, заданной параметрически: 
.
Решение.
.
ПРИМЕР
9. Найти область определения функции 
Решение.
Данная функция
определена для всех х, не обращающих в нуль знаменатель, т.е. не являющихся корнями
уравнения 
. Это все числа вида 
.
Таким образом, область
определения D(у) - вся числовая прямая, кроме точек .
ПРИМЕР 10. Исследовать функцию и построить ее
график: 
Решение.
Функция определена
и непрерывна в интервале (0;+¥). В
граничной точке 
области определения функция имеет
бесконечный разрыв, так как 
.
Так как в точке функция имеет бесконечный разрыв, то прямая является вертикальной асимптотой.
Найдем уравнение наклонной асимптоты 
(если она существует).
;
.
(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).
Итак, 
и уравнение асимптоты 
. Таким образом, график имеет в качестве асимптот
оси координат.
Найдем производную функции и критические точки:
.
Стационарная критическая точка: 
. Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е;¥).
Составим таблицу:
Экстремум
функции: 
.
Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:
,
при 
.
Определим знак второй производной
в интервалах 
и 
 |
 |
Составим таблицу:
y(
)=3/(
) » 0.33
График пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет. Строим эскиз графика функции:
ПРИМЕР 11. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах
Решение.
Построим график данной функции
в декартовых координатах для 
:
Из
этого графика видно, что 
при 
имеем 
.
Поэтому требуемый график будет находиться в
секторах, соответствующих данным значениям j,
а также в секторах, симметричных им относительно начала координат (в силу того,
что перед 
стоит чётный коэффициент).
Учитывая характер изменения r в этих промежутках (от 0 до 1 и затем снова до 0) получим следующий график (восьмилепестковую розу):
ПРИМЕР
12. Исследовать сходимость ряда 
Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости знакоположительного ряда. Найдём предел общего члена ряда
.
Так как данный предел не равен нулю, то не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно, он расходится.
ПРИМЕР 13. Разложить функцию 
в ряд по степеням х.
Решение.
Разложим
функцию в ряд Маклорена. Учитывая, что 
, разложим функцию на сумму двух
более простых:
.
Далее преобразуем:
.
Воспользуемся разложением:
.
*
Получим
(при 
<1, т.е. при <2)
то есть 
.
Аналогично получим второе разложение:
.
Тогда:
.
Окончательно получаем:
ПРИМЕР
14. Найти неопределённый интеграл 
.
Решение.
Введем подстановку
, откуда 
. Тогда 
. Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся
к прежней переменной:
.
ПРИМЕР
15. Найти неопределённый интеграл 
.
Решение.
Подведем под знак дифференциала знаменатель подынтегральной дроби:
.
