Найти неопределённый интеграл 
.
Решение.
Применим формулу
интегрирования по частям: 
. В данном случае:
.
Подставляя эти выражения в формулу, получим:
.
ПРИМЕР
17. Вычислить интеграл 
или установить его расходимость.
Решение.
Точка 
является особой точкой, поскольку подынтегральная функция
имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:
- получили бесконечный предел.
Таким образом, данный интеграл расходится.
ПРИМЕР
18. Решить уравнение: 
.
Решение.
Данное уравнение является дифференциальным уравнением первой степени с Разделяющимися переменными. Разделим переменные:
.
Проинтегрируем части последнего равенства:
.
Отсюда:
.
Окончательно имеем:
- общее решение
данного уравнения.
ПРИМЕР 19. Решить уравнение: 
.
Решение.
Данное дифференциальное уравнение относится к типу однородных дифференциальных уравнений
,
которые решаются с помощью подстановки
.
Отсюда:
.
После подстановки в исходное уравнение получим:
.
Это – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя обе части, получим:
Используя обратную подстановку, получим:
Окончательно имеем обще решение в виде:
.
Теперь, чтобы найти частное решение, подставляем в общее решение начальное условие:
.
Искомое частное решение:
.
Задача
1. Вычислить 
.
Решение. Интеграл можно свести к табличному (1),
если сделать замену 
. Дифференцируя
обе части равенства, получим 
, т.е. 
. Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы
интегрирования: если 
, то 
; если 
, то 
.
Следовательно,
Задача
2. Вычислить 
.
Решение. Сведем данный интеграл к табличному
(3), сделав замену переменной 
.
Тогда 
Изменяем пределы интегрирования:
если 
, то 
;
если 
, то 
.
Получаем
Задача
3. Вычислить 
.
Решение. Интеграл относится к группе интегралов:
, 
, 
, где 
- многочлен степени п. Вычисление таких интегралов выполняется
интегрированием по частям по формуле (17)
Если за и принять многочлен , то в результате применения формулы (17) интеграл упростится
(уменьшится степень многочлена).
Обозначим 
Найдем 
Тогда 
Задача 4. Вычислить 
.
Решение. Этот интеграл относится к группе интегралов
вида 
, 
, 
,
(- многочлен степени п) и вычисляется
по формуле интегрирования по частям (17). В результате применения этой формулы
исходный интеграл упростится, если за и принимать функции 
. Итак, положим 
Тогда 
Получаем
Задача
5. Вычислить 
.
Решение. Выполним замену переменной:
Получим
В подынтегральном выражении выделим целую часть:
Тогда
В
интеграле 
сделаем замену:
,
при
этом 
Возвращаясь к переменной х, получим
Задача
6. Вычислить 
.
Решение. Это интеграл вида 
.
Одно из чисел m и n нечетное (в данном случае
), поэтому интеграл можно вычислить следующим
образом. Преобразуем подынтегральное выражение
,
следовательно, можно выполнить замену: 
.
В результате получим
Задача
7. Вычислить 
.
Решение. Это интеграл вида с чётными m и n (в данном случае 
). Воспользуемся формулой (19) понижения
степени
,
получим
