Задача 8. Вычислить 
.
Решение. Применяя тригонометрическую формулу (23)
,
получим
Задача
9. Вычислить 
.
Решение. Выделим в числителе производную от знаменателя:
Первый
интеграл вычисляем, сделав замену 
, тогда 
. Имеем
Второй
интеграл преобразуем, выделив в знаменателе полный квадрат: 
.
Тогда с учетом формулы (14) получим
Итак, исходный интеграл равен
Задача
10. Вычислить 
.
Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения
Первый
интеграл вычисляется путем замены 
, тогда 
Имеем
Второй интеграл преобразуем путем выделения полного квадрата в подкоренном выражении:
Тогда с учетом формулы (16) получим
Следовательно, исходный интеграл равен
Задача
11. Вычислить 
.
Решение. При интегрировании иррациональных выражений
вида 
(здесь R — рациональная функция;
- целые числа) подстановка 
,
где к — наименьшее общее кратное знаменателей 
, позволяет избавиться от иррациональности. В данном случае
Наименьшее общее кратное этих
чисел равно 6. Применяем подстановку 
Тогда 
и
Возвращаясь
к переменной х с учетом того, что 
, получим
Задача
12. Вычислить 
.
Решение. При вычислении интегралов вида 
, где R — рациональная функция, используется
универсальная тригонометрическая подстановка 
, приводящая к интегралам от рациональных относительно
t функций, при этом
,
.
Из равенства находим 
.
В данном случае получаем
Сделаем
замену 
Тогда 
Возвращаясь к переменной х, получим
Задача
13. Вычислить 
.
Решение. Интегралы вида 
, 
, 
, где R — рациональная функция, приводятся к интегралам
вида , если выполнить замену
переменной:
- для первого интеграла 
(или 
);
- для второго интеграла 
(или 
);
- для третьего интеграла 
(или 
).
Данный интеграл вычисляем заменой 
.
Тогда 
.
Получаем
.
,
тогда
Возвращаясь к
старой переменной при 
, получаем
Задача
14. Вычислить 
Решение. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную
функцию — дробь — в сумму простейших дробей. Множителю 
соответствует сумма двух простейших дробей 
, а множителю 
- дробь 
.
Тогда подынтегральная функция будет иметь вид
Правую часть равенства приведем к общему знаменателю (он должен быть равен знаменателю левой части равенства) и приравняем числители получившихся дробей:
.
Найдем
А, В, С. Сначала применяем метод частных значений. Равенство должно выполняться
при любых х, поэтому подставим вместо х «хорошие» числовые значения (обращающие
часть скобок в 0). Здесь это 1 и -2. При 
получим 
и 
. При 
равенство принимает вид 
, а 
. В найдем методом неопределенных коэффициентов, согласно
которому приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой
частях равенства. Например, при 
. Тогда 
.
Итак, 
Вычисляем интеграл
Задача
15. Вычислить 
Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму
простейших дробей. Множителю 
будет соответствовать сумма 
множителю
- дробь 
. Тогда получим разложение
Приведем
правую часть равенства к общему знаменателю 
и приравняем числители получившихся
дробей:
Найдем А, В, С, D. Согласно методу частных значений
(см. задачу 14) полагаем
, тогда равенство примет вид 
откуда . Далее применяем метод неопределенных коэффициентов,
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.
Так,
для х получим равенство 
откуда 
; для имеем 
, откуда 
; для 
получим 
, откуда 
Итак, 
Вычисляем интеграл
