Задача . Вычислить 
, если l задана уравнением 
Решение. Воспользуемся формулой (27) вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:
Получим
Согласно формуле (20)
Тогда
Задача
17. Найти массу дуги кривой 
, если плотность кривой 
Решение. Применяем формулу (28) вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:
Формула (25) позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:
Так
как 
, получаем
Задача
18. Найти работу вектор-силы 
на криволинейном пути 
Решение. Работа А, совершаемая вектор-силой
на криволинейном пути L, есть криволинейный интеграл II рода (формула (32)), т. е.
Кривая задана параметрически, поэтому применяем формулу (31):
где
Тогда
Задача
19. Вычислить 
, если D ограничена линиями 
Решение. На рисунке построена область D — криволинейный треугольник.
1 способ. Двойной интеграл можно вычислить по формуле (33):
Здесь
поэтому
2 способ. Можно использовать формулу (34):
Тогда
Значит, 
Задача 20. Вычислить 
,
где D — правая половина кольца (см. рисунок).
Решение. Будем вычислять интеграл в полярных координатах по формуле (35):
Здесь
.
Так как 
(формулы перехода к полярным координатам), то 
Тогда уравнения окружностей 
и 
принимают вид 
Следовательно,
Ряды
Задача 21. Определить, какие ряды сходятся:
А) 
Б) 
В) 
Решение.
1. К ряду 
применим радикальный признак Коши: если 
, то положительный ряд 
сходится при 
и расходится, когда 
Так как 
, то ряд расходится.
2. Рассмотрим ряд 
Проверим необходимое условие сходимости: если ряд
сходится, то 
.
Поскольку
, необходимое условие не выполняется, значит ряд расходится.
3.
При исследовании сходимости ряда 
можно воспользоваться предельным признаком сравнения
положительных рядов: если существует конечный и отличный от нуля предел 
то положительные ряды и 
одинаковы в смысле сходимости.
Для
сравнения возьмем обобщенный гармонический ряд
,
сходящийся при 
и расходящийся
для 
При 
получим сходящийся ряд 
.
Применим теорему сравнения
Предел
конечен и отличен от нуля, поэтому ряд также сходится.
Задача 22. Исследовать на сходимость ряды:
1) 
2) 
Решение.
1.
Рассмотрим ряд 
.
Он знакочередующийся. К таким рядам применим признак Лейбница. Знакочередующийся ряд
сходится при условии:
1) 
2) .
Так как 
и 
, условия признака Лейбница выполняются, значит, ряд
сходится. Если знакопеременный ряд сходится, то эта сходимость называется абсолютной
или условной в зависимости от того, сходится или расходится соответствующий ряд
из абсолютных величин членов знакопеременного ряда. Составим ряд из абсолютных
величин
.
Получили
положительный ряд. Применяем к нему достаточный признак сходимости — признак Даламбера:
если 
то положительный ряд 
сходится при и расходится, когда 
Поскольку
,
ряд
сходится, следовательно, ряд 
сходится абсолютно.
2. Рассмотрим ряд
.
Условия признака Лейбница выполняются:
1)
2) 
Значит, ряд сходится. Исследуя ряд на абсолютную сходимость,
составим ряд из абсолютных величин 
Применяем интегральный признак сходимости
Маклорена-Коши: положительный ряд сходится или расходится в зависимости от того, сходится
или расходится 
(здесь 
при 
- непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция,
такая что 
).
Вычисляем
Это
означает, что несобственный интеграл расходится, тогда расходится ряд 
,
а исходный ряд 
сходится условно.
Отметим, что при исследовании сходимости ряда
можно было использовать предельный признак сходимости (см. задачу 21).
