Найти область сходимости функционального ряда
Решение.
Это частный случай функционального ряда — степенной ряд вида 
Радиус сходимости R такого ряда можно найти по одной из формул:
или 
.
Интервал абсолютной
сходимости степенного ряда определяется неравенством 
.
Вне этого интервала, при 
ряд
расходится. На концах интервала — в точках 
поведение ряда исследуется особо.
Находим радиус
сходимости для заданного ряда по первой формуле. Так как 
,
получаем
Тогда
ряд сходится, если 
, откуда 
, то есть 
.
Исследуем сходимость ряда в точках 
и 
.
При
исходный ряд принимает вид
Это
обобщенный гармонический сходящийся ряд (
сходится, если 
).
При получаем знакочередующийся ряд 
Этот ряд сходится (притом абсолютно),
так как сходится ряд из абсолютных величин его членов:
Итак,
исходный ряд сходится для всех 
.
Задача 24. Найти коэффициенты 
и 
разложения в ряд Фурье функции
.
Записать это разложение.
Решение. Воспользуемся формулами (36),
(37) разложения в ряд Фурье функции 
,
заданной на отрезке 
:
,
где
Найдем коэффициенты 
и . Так как 
, получим
Так
как 
можно заменить более простой функцией 
, получим 
.
Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье:
Задача
25. Найти коэффициенты разложения в ряд Фурье по синусам функции
.
Решение.
Коэффициенты разложения функции в ряд Фурье по синусам определяются
по формуле (41):
Тогда
Так как 
, получим
Дифференциальные уравнения
Задача 26. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение. Это уравнение вида
- линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое
уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки 
где u и v две неизвестные функции.
Подставляя в исходное уравнение 
получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим
найденную функцию v во второе уравнение 
. Получим 
откуда 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Задача
27. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 
Решение.
Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид 
позволяет сделать замену 
и свести к уравнению с разделяющимися переменными. Итак, заменяя функцию у на
t , получаем
, 
Уравнение примет вид
Разделяем переменные и интегрируем:
Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения — решение, записанное в неявном виде
Задача 28. Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах:
1) 
2) 
3) 
Решение. Дифференциальное уравнение
является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие
Проверим его для каждого уравнения.
1. 
Условие не выполняется.
2. 
Условие выполняется, тогда
- уравнение в полных дифференциалах.
3. 
Условие не выполняется.
