Дифференциал функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке
х: 
Тогда можно записать:
, где a®0, при Dх®0.
Следовательно: 
.
Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или
dy = f¢(x)dx.
Можно также записать:
8.2. Геометрический смысл дифференциала.
Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx
Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
8.3. Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv
d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv
d(Cu) = Cdu
8.4. Дифференциал сложной функции.
Инвариантная форма записи дифференциала.
Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.
Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.
Однако, если х- независимая переменная, то
dx = Dx, но
если х зависит от t, то Dх ¹ dx.
Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.
Пример. Найти производную функции
.
Сначала преобразуем данную
функцию: 
Пример. Найти производную функции 
.
Пример. Найти производную функции 
Пример. Найти производную функции 
Пример. Найти производную функции 
