Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Определение производной

Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x₀. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x₀, и ее производная определяется формулой

Для производной используются обозначения: Для нахождения производной функции f(x) в точке x₀ на основе определения следует выполнить следующие действия:

• Записать отношение ;
• Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на Δx;
• Найти производную , вычисляя предел дроби. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x=x₀.

Пример Используя определение, найти производную функции .

Решение. По определению производной

Вычислим двойной интеграл

по области D, ограниченной линиями y=x и y=x2. Область D

изображена на рис.13. Интегрируя сначала по y, а потом по x,

получаем

Правильность результата можно проверить, изменив порядок интегрирования :