Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Определение производной

Пример Найти производную функции .

Решение. Применяя определение производной, получаем Умножим числитель и знаменатель на . Заметим, что Тогда

Пример Найти производную функции y(x) = sin x.

Решение. Используя определение производной, получаем Применим тригонометрическое тождество Тогда Первый предел в данном выражении равен Поскольку , то для производной синуса получаем окончательное выражение:

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.