Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Производная показательной и логарифмической функции

Пример Вычислить производную функции .

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции находим Упрощаем: Применив формулу двойного угла , получаем окончательный ответ

Пример Продифференцировать .

Решение. Используем формулы производной сложной функции и производной частного. После небольших преобразований получаем вполне "приличный" ответ.

 

Пример Определить производную функции .

Решение. Сначала возьмем производную от произведения функций: Дифференцируя отдельные члены и упрощая, получаем

Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл.

Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz.

Область D, высекаемая в плоскости Oxy цилиндрической поверхностью, называется основанием цилиндрического тела (см. рис.1). В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может и отсутствовать; примером тому служит тело, ограниченное плоскостью Oxy и верхней полусферой .

Рис. 1

Обычно тело можно составить из некоторого числа цилиндрических тел и определить искомый объект как сумму объёмов цилиндрических тел, составляющих это тело.