Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Производные гиперболических функций

Пример Вычислить производную функции .

Решение. Производная постоянной величины равна нулю.

Пример Найти производную функции .

Решение. По правилу суммы Вынося постоянные множители за знак производной и вычисляя производные степенных функций, получаем

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело произвольной плоскостью, параллельной плоскости Oyz, т.е. x=const, (рис). В сечении мы получим криволинейную тра­пецию PMNR, площадь которой выражается интегралом от функции , рассматри­ваемой как функция одной пе­ременной у, причем у изменя­ется от ординаты точки P до ординаты точки R. Точка P есть точка входа прямой х =const (в плоскости Оху) в область D, а R - точка ее выхода из этой области. Из уравнений линий АВС и АЕС следует, что ординаты этих точек при взятом х соот­ветственно равны и .

Следовательно, интеграл

дает выражение для площади плоского сечения PMNR. Ясно, что величина этого интеграла зависит от выбранного значения х; другими словами, площадь рассматриваемого поперечного сечения является некоторой функцией от х, мы обозначим ее через S(х):

Согласно формуле (**) объем всего тела будет равен интег­ралу от S(x) в интервале изменения .( При выводе формулы (**) мы считали, что S(*) есть геометриче­ская площадь поперечного сечения. Поэтому дальнейшие рассуждения справедливы, строго говоря, лишь для случая . Основываясь на уточненном геометрическом смысле двойного интеграла, нетрудно до­казать, на чем мы не будем останавливаться, что получающаяся формула для вычисления двойного интеграла будет верна для любых функций.