Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Производные гиперболических функций

Пример Вычислить производную функции .

Решение. Перепишем функцию в виде: Используем формулу производной суммы нескольких функций: Вынесем постоянные множители и вычислим производные степенных функций: Здесь мы использовали выражение . После упрощения получаем

Пример Найти производную функции .

Решение. Перейдем к записи в степенной форме: Производная разности функций равна разности производных этих функций: Вычисляя производные степенных функций, получаем

Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкно­венных определенных интегралов; нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрировании за постоянную. Для краткости правые части фор­мул (А) и (Б) называют повторными (или двукратными) интегра­лами, а сам процесс расстановки пределов интегрирования - при­ведением двойного интеграла к повторному.

Формулы приведения двойного интеграла к повторному приобре­тают особенно простой вид, когда область D является прямоуголь­ником со сторонами, параллельными осям координат (рис.6). В этом случае становятся постоянными пределы не только внеш­него, но и внутреннего интегралов:

В других случаях для сведения двойного интеграла к повтор­ному необходимо прежде всего построить область интегрирования; лучше всего изобразить эту область прямо в плоскости Оху, как это сделано на рис. Затем нужно установить порядок интегрирования, т. е. наметить, по какой переменной будет про­изводиться внутреннее интегрирование, а по какой - внешнее, и расставить пределы интегрирования.