Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Производные тригонометрических функций

Пример Продифференцировать функцию .

Решение. Используем формулы для производной суммы функций и производной степенной функции. После подстановки производных и упрощения получаем: Поскольку , то окончательное выражение для производной имеет вид

Пример Вычислить производную функции .

Решение. Первый шаг очевиден: Так как то применяя правило производной для сложной функции, находим: Воспользовавшись для упрощения тригонометрическими формулами и , получаем ответ

Рассмотрим этот вопрос в общем виде. Пусть - любая функция двух переменных (не обязательно положительная), не­прерывная в некоторой области D, ограниченной замкнутой линией. Разобьем область D на частичные, как указано выше, выберем в каждой частичной области по произвольной точке и составим сумму

(*)

где - значение функции в точке ; и , - площадь ча­стичной области.

Сумма (*) называется n-й интегральной суммой для функции в области D, соответствующей данному разбиению этой области на n частичных областей.

Определение. Двойным интегралом от функции по области D называется предел, к которому стремится n-я интегральная сумма (*) при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.

­Записывается это так:

Читается: «двойной интеграл от на по области D». Выражение , показывающее вид суммируемых слагаемых, называется подынтегральным выражением; функция назы­вается подынтегральной функцией, - элементом площади, об­ласть D - областью интегрирования, наконец, переменные x и у на­зываются переменными интегрирования.