Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Рассмотрим
степенной ряд 
, имеющий радиус
сходимости R> 0:
Функция 
является непрерывной
функцией при |x| < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно
дифференцировать почленно. При этом производная степенного ряда выражается формулой
Степенной ряд можно также почленно
интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно,
если − R < b < x < R, то выполняется равенство 
Если ряд интегрируется на отрезке [0; x], то справедлива формула:
Пример Показать, что
Решение. Рассмотрим
сначала следующий степенной ряд: 
Данный
ряд является геометрической прогрессией со знаменателем x. Поэтому, он сходится
при |x| < 1. Его сумма равна 
.
Подставляя − x вместо x, получаем 
Таким образом, 