Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Пример Найти представление в виде степенного ряда функции .

Решение. Выше в примере 1 мы получили разложение Интегрируя это ряд почленно на отрезке [0; x], находим

Пример Разложить в степенной ряд интеграл .

Решение. В предыдущем примере было найдено разложение логарифмической функции в ряд в виде Отсюда следует, что Интегрируя этот ряд почленно на отрезке [0; x], получаем

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)¢ = u¢v + v¢u

где u и v — некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.