Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Пример Разложить в степенной ряд экспоненциальную функцию e x.
Решение. Рассмотрим ряд
который сходится
при всех x. Дифференцируя его почленно, получаем 
Следовательно, функция f (x) удовлетворяет дифференциальному уравнению
f ' = f. Общее решение этого уравнения имеет вид f (x) = ce
x, где c − константа. Подставляя начальное значение f
(0) = 1, находим, что c = 1. Таким образом, полученное следующее
разложение функции e x в степенной ряд: 
Пример Разложить в степенной ряд гиперболический синус sh x.
Решение. Поскольку sh x = (e x + e−x )/2, то воспользуемся разложениями в степенной ряд функций e x и e−x. В предыдущем примере была получена формула
Подставляя −x вместо x, находим, что 
Тогда гиперболический синус раскладывается в ряд следующим образом: 
Вычислим объём тела, ограниченного цилиндрическими поверхностями
и плоскостью z=0 (рис.14,а).
Поверхность,
ограничивающая тело сверху, имеет уравнение z=4-y2. Область интегрирования D получается
в результате пересечения параболы 
с линией пересечения цилиндра z=4-y2
и плоскости z=0, т.е. с прямой y=2 (Рис. 14, б). Ввиду симметрии тела относительно
плоскости Oyz вычисляем половину искомого объёма :
Следовательно,
куб.ед.