Задачи, приводящие к понятию производной
Рассмотрим пример. Вычислим мгновенную скорость материальной точки, свободно падающей под действием силы тяжести. Из механики известно, что закон движения этой точки задаётся уравнением S=gt2/2. Поэтому путь ∆S, пройденный точкой за промежуток времени от t до t+∆t, равен
∆S=
- 
= gt ∆t + 
(∆t)2
Средняя скорость за промежуток ∆t равна
vср =
= gt + ∆t,
а мгновенная скорость в момент t равна
v = 
= gt.
Задача о проведении касательной к кривой.
Пусть
дана некоторая кривая и точка на ней. Рассмотрим понятие касательной к кривой
в данной точке. В школьном курсе элементарной геометрии вводится понятие касательной
к окружности — касательная определяется как прямая, имеющая с окружностью только
одну общую точку. Но в общем случае — когда рассматривается произвольная кривая
– это определение непригодно. Возьмём в качестве примера параболу y=x2. В точке
O начала координат обе координатные оси подходят под это определение, хотя интуитивному
представлению о касательной в этой точке соответствует только ось x (см. рис.1).
Другим примером может служить прямая y=1, которая имеет с синусоидой 
бесконечно много точек касания (см. рис.2).
Дадим общее определение касательной. Возьмём на непрерывной кривой L две точки
– точку M, в которой мы хотим провести касательную к этой кривой, и точку M1.
Проведём секущую MM1. Когда точка M1 будет перемещаться вдоль по кривой, приближаясь
к точке M, секущая будет вращаться вокруг точки M.
Касательной к кривой L в точке M называется предельное положение MT секущей MM1, когда точка M1, двигаясь вдоль по кривой, стремится к совпадению с точкой M (см. рис.3).
Предположим теперь, что кривая L является графиком
непрерывной функции y=f(x). Найдём угловой коэффициент касательной к кривой L
в точке M , т.е. tg α, где α — угол наклона касательной к оси x. Будем
считать, что 
, т.е. касательная
не параллельна оси y. Пусть точка M имеет координаты (x0, y0), а точка M1 — координаты
(x0+∆x, y0+∆y). Обозначим через φ угол наклона секущей MM1 к
оси x. Тогда угловой коэффициент секущей
Kсек = tg φ =
Устремим
теперь ∆x к нулю. Так как функция y=f(x) непрерывна, то и ∆y→0,
а, значит, и расстояние между точками M и M1 ρ(MM1)=
→0.
Это значит, что точка M1 стремится к совпадению с точкой M. Предположим, что существует
предел
=k
Так как φ=arctg, то в силу непрерывности функции y=arctg(x)
φ =( arctg) = arctg() = arctg(k)
Это значит, что при стремлении точки M1 к точке M секущая MM1 стремится занять предельное положение с углом наклона φ= arctg(k). Это предельное положение и является по определению касательной к кривой L в точке M. Итак, угол наклона касательной к оси x α = arctg(k).
Отсюда
tg α=k=
Теперь мы можем определить понятие производной.