Определение производной.
Пусть функция y=f(x) определена
на интервале (a;b). Рассмотрим значение аргумента 
(a;b). Дадим аргументу приращение ∆x
0, так чтобы выполнялось условие (x0+∆x)
a;b).
Обозначим соответствующие значения функции через y0 и y1:
y0=f(x0), y1=f(x0+∆x). При переходе от x0 к x0+∆x функция получит приращение
∆y = y1 - y0 = f(x0+∆x) - f(x0). Если при стремлении ∆x к нулю существует предел отношения приращения функции ∆y к вызвавшему его приращению аргумента ∆x,
т.е. существует предел
= 
,
то этот предел называется производной функции
y=f(x) в точке x0. Итак, производная функции y=f(x) в точке x= x0 есть предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю. Производная функции y=f(x) в точке x обозначается символами
(x) или 
(x). Используются также обозначения , 
, 
, 
. В последних трёх обозначениях подчёркивается то обстоятельство,
что производная берётся по переменной x.
Если функция y=f(x) имеет производную
в каждой точке некоторого интервала, то на этом интервале производная (x) есть функция аргумента x.