Механический и геометрический смысл производной.
Уравнения нормали и касательной к графику функции.
Как было показано в § 1, мгновенная скорость точки есть
v=
.
Но это означает, что скорость v есть производная от пройденного пути S по времени t,
v=
.
Таким образом, если функция y=f(x) описывает закон прямолинейного движения материальной
точки, где y есть путь, пройденный материальной точкой от момента начала движения
до момента времени x, то производная 
(x) определяет мгновенную скорость точки в момент времени
x. В этом и заключается механический смысл производной.
В § 1 был найден также угловой коэффициент касательной к графику функции
y=f(x) k=tg α= 
. Это соотношение означает, что угловой коэффициент касательной
равен производной (x). Говоря более строго, производная (x) функции y=f(x), вычисленная при
значении аргумента, равном x, равна угловому коэффициенту касательной к графику
этой функции в точке, абсцисса которой равна x. В этом состоит геометрический
смысл производной.
Пусть при x=x0 функция y=f(x) принимает значение y0= f(x0), и график этой функции имеет касательную в точке с координатами (x0;y0). Тогда угловой коэффициент касательной
k = (x0).
Используя известное из курса аналитической геометрии уравнение прямой, проходящей
через заданную точку в заданном направлении ( y-y0 = k(x-x0) ), запишем уравнение
касательной:
.
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно
касательной, называется нормалью к кривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной,
то её угловой коэффициент kнорм связан с угловым коэффициентом касательной k известным
из аналитической геометрии соотношением: kнорм = ─
,
т.е. для нормали, проходящей через точку с координатами (x0;y0), kнорм = ─
. Следовательно, уравнение этой нормали
имеет вид:
(при условии, что 
).